MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldds Unicode version

Theorem cnfldds 16405
Description: The metric of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldds  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` fld )

Proof of Theorem cnfldds
StepHypRef Expression
1 absf 11837 . . . 4  |-  abs : CC
--> RR
2 subf 9069 . . . 4  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
3 fco 5414 . . . 4  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC )  -> 
( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR )
41, 2, 3mp2an 653 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  ) :
( CC  X.  CC )
--> RR
5 cnex 8834 . . . 4  |-  CC  e.  _V
65, 5xpex 4817 . . 3  |-  ( CC 
X.  CC )  e. 
_V
7 reex 8844 . . 3  |-  RR  e.  _V
8 fex2 5417 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR  /\  ( CC  X.  CC )  e. 
_V  /\  RR  e.  _V )  ->  ( abs 
o.  -  )  e.  _V )
94, 6, 7, 8mp3an 1277 . 2  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  _V
10 cnfldstr 16395 . . 3  |-fld Struct 
<. 1 , ; 1 2 >.
11 dsid 13326 . . 3  |-  dist  = Slot  ( dist `  ndx )
12 snsstp3 3784 . . . 4  |-  { <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  C_  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }
13 ssun2 3352 . . . . 5  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  C_  (
( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  { <. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. } )
14 df-cnfld 16394 . . . . 5  |-fld  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. } )
1513, 14sseqtr4i 3224 . . . 4  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  C_fld
1612, 15sstri 3201 . . 3  |-  { <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  C_fld
1710, 11, 16strfv 13196 . 2  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  _V  ->  ( abs  o. 
-  )  =  (
dist ` fld ) )
189, 17ax-mp 8 1  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    u. cun 3163   {csn 3653   {ctp 3655   <.cop 3656    X. cxp 4703    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271   CCcc 8751   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053   2c2 9811  ;cdc 10140   *ccj 11597   abscabs 11735   ndxcnx 13161   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   * rcstv 13226  TopSetcts 13230   lecple 13231   distcds 13233   MetOpencmopn 16388  ℂfldccnfld 16393
This theorem is referenced by:  cnfldms  18301  cnfldnm  18304  cnngp  18305  cncms  18790  cnpwstotbnd  26624  repwsmet  26661  rrnequiv  26662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-cnfld 16394
  Copyright terms: Public domain W3C validator