MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldds Unicode version

Theorem cnfldds 16629
Description: The metric of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldds  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` fld )

Proof of Theorem cnfldds
StepHypRef Expression
1 absf 12061 . . . 4  |-  abs : CC
--> RR
2 subf 9232 . . . 4  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
3 fco 5533 . . . 4  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC )  -> 
( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR )
41, 2, 3mp2an 654 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  ) :
( CC  X.  CC )
--> RR
5 cnex 8997 . . . 4  |-  CC  e.  _V
65, 5xpex 4923 . . 3  |-  ( CC 
X.  CC )  e. 
_V
7 reex 9007 . . 3  |-  RR  e.  _V
8 fex2 5536 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR  /\  ( CC  X.  CC )  e. 
_V  /\  RR  e.  _V )  ->  ( abs 
o.  -  )  e.  _V )
94, 6, 7, 8mp3an 1279 . 2  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  _V
10 cnfldstr 16621 . . 3  |-fld Struct 
<. 1 , ; 1 3 >.
11 dsid 13551 . . 3  |-  dist  = Slot  ( dist `  ndx )
12 snsstp3 3887 . . . 4  |-  { <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  C_  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }
13 ssun1 3446 . . . . 5  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  C_  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } )
14 ssun2 3447 . . . . . 6  |-  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } )  C_  (
( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  { <. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) )
15 df-cnfld 16620 . . . . . 6  |-fld  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) )
1614, 15sseqtr4i 3317 . . . . 5  |-  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } )  C_fld
1713, 16sstri 3293 . . . 4  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  C_fld
1812, 17sstri 3293 . . 3  |-  { <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  C_fld
1910, 11, 18strfv 13421 . 2  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  _V  ->  ( abs  o. 
-  )  =  (
dist ` fld ) )
209, 19ax-mp 8 1  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892    u. cun 3254   {csn 3750   {ctp 3752   <.cop 3753    X. cxp 4809    o. ccom 4815   -->wf 5383   ` cfv 5387   CCcc 8914   RRcr 8915   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921    <_ cle 9047    - cmin 9216   3c3 9975  ;cdc 10307   *ccj 11821   abscabs 11959   ndxcnx 13386   Basecbs 13389   +g cplusg 13449   .rcmulr 13450   * rcstv 13451  TopSetcts 13455   lecple 13456   distcds 13458   UnifSetcunif 13459   MetOpencmopn 16610  metUnifcmetu 16611  ℂfldccnfld 16619
This theorem is referenced by:  cnfldms  18674  cnfldnm  18677  cnngp  18678  cncms  19169  cnfldcusp  19171  recusp  24139  qqhcn  24167  qqhucn  24168  rrhre  24176  dya2icoseg2  24415  cnpwstotbnd  26190  repwsmet  26227  rrnequiv  26228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-rp 10538  df-fz 10969  df-seq 11244  df-exp 11303  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-cnfld 16620
  Copyright terms: Public domain W3C validator