MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldds Unicode version

Theorem cnfldds 16389
Description: The metric of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldds  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` fld )

Proof of Theorem cnfldds
StepHypRef Expression
1 absf 11821 . . . 4  |-  abs : CC
--> RR
2 subf 9053 . . . 4  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
3 fco 5398 . . . 4  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC )  -> 
( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR )
41, 2, 3mp2an 653 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  ) :
( CC  X.  CC )
--> RR
5 cnex 8818 . . . 4  |-  CC  e.  _V
65, 5xpex 4801 . . 3  |-  ( CC 
X.  CC )  e. 
_V
7 reex 8828 . . 3  |-  RR  e.  _V
8 fex2 5401 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR  /\  ( CC  X.  CC )  e. 
_V  /\  RR  e.  _V )  ->  ( abs 
o.  -  )  e.  _V )
94, 6, 7, 8mp3an 1277 . 2  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  _V
10 cnfldstr 16379 . . 3  |-fld Struct 
<. 1 , ; 1 2 >.
11 dsid 13310 . . 3  |-  dist  = Slot  ( dist `  ndx )
12 snsstp3 3768 . . . 4  |-  { <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  C_  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }
13 ssun2 3339 . . . . 5  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  C_  (
( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  { <. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. } )
14 df-cnfld 16378 . . . . 5  |-fld  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. } )
1513, 14sseqtr4i 3211 . . . 4  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  C_fld
1612, 15sstri 3188 . . 3  |-  { <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  C_fld
1710, 11, 16strfv 13180 . 2  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  _V  ->  ( abs  o. 
-  )  =  (
dist ` fld ) )
189, 17ax-mp 8 1  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150   {csn 3640   {ctp 3642   <.cop 3643    X. cxp 4687    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255   CCcc 8735   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868    - cmin 9037   2c2 9795  ;cdc 10124   *ccj 11581   abscabs 11719   ndxcnx 13145   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   * rcstv 13210  TopSetcts 13214   lecple 13215   distcds 13217   MetOpencmopn 16372  ℂfldccnfld 16377
This theorem is referenced by:  cnfldms  18285  cnfldnm  18288  cnngp  18289  cncms  18774  cnpwstotbnd  26521  repwsmet  26558  rrnequiv  26559
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-cnfld 16378
  Copyright terms: Public domain W3C validator