Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldexp Structured version   Unicode version

Theorem cnfldexp 16734
 Description: The exponentiation operator in the field of complex numbers (for nonnegative exponents). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldexp .gmulGrpfld

Proof of Theorem cnfldexp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6088 . . . . 5 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
2 oveq2 6089 . . . . 5
31, 2eqeq12d 2450 . . . 4 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
43imbi2d 308 . . 3 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
5 oveq1 6088 . . . . 5 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
6 oveq2 6089 . . . . 5
75, 6eqeq12d 2450 . . . 4 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
87imbi2d 308 . . 3 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
9 oveq1 6088 . . . . 5 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
10 oveq2 6089 . . . . 5
119, 10eqeq12d 2450 . . . 4 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
1211imbi2d 308 . . 3 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
13 oveq1 6088 . . . . 5 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
14 oveq2 6089 . . . . 5
1513, 14eqeq12d 2450 . . . 4 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
1615imbi2d 308 . . 3 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
17 eqid 2436 . . . . . 6 mulGrpfld mulGrpfld
18 cnfldbas 16707 . . . . . 6 fld
1917, 18mgpbas 15654 . . . . 5 mulGrpfld
20 cnfld1 16726 . . . . . 6 fld
2117, 20rngidval 15666 . . . . 5 mulGrpfld
22 eqid 2436 . . . . 5 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
2319, 21, 22mulg0 14895 . . . 4 .gmulGrpfld
24 exp0 11386 . . . 4
2523, 24eqtr4d 2471 . . 3 .gmulGrpfld
26 oveq1 6088 . . . . . 6 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
27 cnrng 16723 . . . . . . . . . 10 fld
2817rngmgp 15670 . . . . . . . . . 10 fld mulGrpfld
2927, 28ax-mp 8 . . . . . . . . 9 mulGrpfld
30 cnfldmul 16709 . . . . . . . . . . 11 fld
3117, 30mgpplusg 15652 . . . . . . . . . 10 mulGrpfld
3219, 22, 31mulgnn0p1 14901 . . . . . . . . 9 mulGrpfld .gmulGrpfld .gmulGrpfld
3329, 32mp3an1 1266 . . . . . . . 8 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
3433ancoms 440 . . . . . . 7 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
35 expp1 11388 . . . . . . 7
3634, 35eqeq12d 2450 . . . . . 6 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
3726, 36syl5ibr 213 . . . . 5 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
3837expcom 425 . . . 4 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
3938a2d 24 . . 3 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
404, 8, 12, 16, 25, 39nn0ind 10366 . 2 .gmulGrpfld
4140impcom 420 1 .gmulGrpfld
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995  cn0 10221  cexp 11382  cmnd 14684  .gcmg 14689  mulGrpcmgp 15648  crg 15660  ℂfldccnfld 16703 This theorem is referenced by:  plypf1  20131  dchrfi  21039  dchrabs  21044  lgsqrlem1  21125  lgseisenlem4  21136  dchrisum0flblem1  21202  proot1ex  27497 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-mulg 14815  df-cmn 15414  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-cnfld 16704
 Copyright terms: Public domain W3C validator