MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldms Unicode version

Theorem cnfldms 18301
Description: The complex number field is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldms  |-fld  e.  MetSp

Proof of Theorem cnfldms
StepHypRef Expression
1 cnmet 18297 . 2  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( Met `  CC )
2 eqid 2296 . 2  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)
3 cnxmet 18298 . . . 4  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
42mopntopon 18001 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  ->  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )  e.  (TopOn `  CC ) )
5 cnfldbas 16399 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
6 cnfldtset 16403 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  (TopSet ` fld )
75, 6topontopn 16696 . . . 4  |-  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )  =  ( TopOpen ` fld ) )
83, 4, 7mp2b 9 . . 3  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  ( TopOpen ` fld )
9 absf 11837 . . . . . 6  |-  abs : CC
--> RR
10 subf 9069 . . . . . 6  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
11 fco 5414 . . . . . 6  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC )  -> 
( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR )
129, 10, 11mp2an 653 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  ) :
( CC  X.  CC )
--> RR
13 ffn 5405 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR  ->  ( abs  o.  -  )  Fn  ( CC  X.  CC ) )
14 fnresdm 5369 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  -  )  Fn  ( CC  X.  CC )  ->  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( CC  X.  CC ) )  =  ( abs  o.  -  ) )
1512, 13, 14mp2b 9 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( CC  X.  CC ) )  =  ( abs  o.  -  )
16 cnfldds 16405 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` fld )
1716reseq1i 4967 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( CC  X.  CC ) )  =  ( ( dist ` fld )  |`  ( CC 
X.  CC ) )
1815, 17eqtr3i 2318 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( ( dist ` fld )  |`  ( CC 
X.  CC ) )
198, 5, 18isms2 18012 . 2  |-  (fld  e.  MetSp  <->  (
( abs  o.  -  )  e.  ( Met `  CC )  /\  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) ) )
201, 2, 19mpbir2an 886 1  |-fld  e.  MetSp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696    X. cxp 4703    |` cres 4707    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271   CCcc 8751   RRcr 8752    - cmin 9053   abscabs 11735   distcds 13233   TopOpenctopn 13342   * Metcxmt 16385   Metcme 16386   MetOpencmopn 16388  ℂfldccnfld 16393  TopOnctopon 16648   MetSpcmt 17899
This theorem is referenced by:  cnfldxms  18302  cnfldtps  18303  cnngp  18305  cncms  18790  cnpwstotbnd  26624
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-xms 17901  df-ms 17902
  Copyright terms: Public domain W3C validator