MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldmul Structured version   Unicode version

Theorem cnfldmul 16701
Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldmul  |-  x.  =  ( .r ` fld )

Proof of Theorem cnfldmul
StepHypRef Expression
1 mulex 10603 . 2  |-  x.  e.  _V
2 cnfldstr 16697 . . 3  |-fld Struct 
<. 1 , ; 1 3 >.
3 mulrid 13567 . . 3  |-  .r  = Slot  ( .r `  ndx )
4 snsstp3 3943 . . . 4  |-  { <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  C_  {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }
5 ssun1 3502 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )
6 ssun1 3502 . . . . . 6  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  C_  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) )
7 df-cnfld 16696 . . . . . 6  |-fld  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) )
86, 7sseqtr4i 3373 . . . . 5  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  C_fld
95, 8sstri 3349 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  C_fld
104, 9sstri 3349 . . 3  |-  { <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  C_fld
112, 3, 10strfv 13493 . 2  |-  (  x.  e.  _V  ->  x.  =  ( .r ` fld )
)
121, 11ax-mp 8 1  |-  x.  =  ( .r ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    u. cun 3310   {csn 3806   {ctp 3808   <.cop 3809    o. ccom 4874   ` cfv 5446   CCcc 8980   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    <_ cle 9113    - cmin 9283   3c3 10042  ;cdc 10374   *ccj 11893   abscabs 12031   ndxcnx 13458   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522   * rcstv 13523  TopSetcts 13527   lecple 13528   distcds 13530   UnifSetcunif 13531   MetOpencmopn 16683  metUnifcmetu 16685  ℂfldccnfld 16695
This theorem is referenced by:  cncrng  16714  cnfld1  16718  cndrng  16722  cnflddiv  16723  cnfldexp  16726  cnsrng  16727  cnsubrglem  16740  absabv  16748  cnsubrg  16751  cnmsubglem  16753  dvdsrz  16759  zlpirlem3  16762  prmirredlem  16765  expmhm  16768  expghm  16769  mulgrhm  16779  zlmlmod  16796  domnchr  16805  znfld  16833  znidomb  16834  znunit  16836  znrrg  16838  clmmul  19092  clmmcl  19101  cphsubrglem  19132  cphdivcl  19137  cphabscl  19140  cphsqrcl2  19141  cphsqrcl3  19142  ipcau2  19183  plypf1  20123  dvply2g  20194  taylply2  20276  reefgim  20358  amgmlem  20820  amgm  20821  wilthlem2  20844  wilthlem3  20845  dchrelbas3  21014  dchrzrhmul  21022  dchrmulcl  21025  dchrn0  21026  dchrinvcl  21029  dchrsum2  21044  sum2dchr  21050  lgsdchr  21124  lgseisenlem3  21127  lgseisenlem4  21128  qabvexp  21312  ostthlem2  21314  padicabv  21316  ostth2lem2  21320  ostth3  21324  zzsmulr  24258  remulr  24264  iistmd  24292  xrge0iifmhm  24317  xrge0pluscn  24318  qqhrhm  24365  mzpmfp  26795  cnsrexpcl  27338  cnsrplycl  27340  rngunsnply  27346  psgnghm  27405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-cnfld 16696
  Copyright terms: Public domain W3C validator