MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldmul Unicode version

Theorem cnfldmul 16385
Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldmul  |-  x.  =  ( .r ` fld )

Proof of Theorem cnfldmul
StepHypRef Expression
1 mulex 10353 . 2  |-  x.  e.  _V
2 cnfldstr 16379 . . 3  |-fld Struct 
<. 1 , ; 1 2 >.
3 mulrid 13254 . . 3  |-  .r  = Slot  ( .r `  ndx )
4 snsstp3 3768 . . . 4  |-  { <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  C_  {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }
5 ssun1 3338 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )
6 ssun1 3338 . . . . . 6  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  C_  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. } )
7 df-cnfld 16378 . . . . . 6  |-fld  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. } )
86, 7sseqtr4i 3211 . . . . 5  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  C_fld
95, 8sstri 3188 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  C_fld
104, 9sstri 3188 . . 3  |-  { <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  C_fld
112, 3, 10strfv 13180 . 2  |-  (  x.  e.  _V  ->  x.  =  ( .r ` fld )
)
121, 11ax-mp 8 1  |-  x.  =  ( .r ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    u. cun 3150   {csn 3640   {ctp 3642   <.cop 3643    o. ccom 4693   ` cfv 5255   CCcc 8735   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868    - cmin 9037   2c2 9795  ;cdc 10124   *ccj 11581   abscabs 11719   ndxcnx 13145   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   * rcstv 13210  TopSetcts 13214   lecple 13215   distcds 13217   MetOpencmopn 16372  ℂfldccnfld 16377
This theorem is referenced by:  cncrng  16395  cnfld1  16399  cndrng  16403  cnflddiv  16404  cnfldexp  16407  cnsrng  16408  cnsubrglem  16421  absabv  16429  cnsubrg  16432  cnmsubglem  16434  dvdsrz  16440  zlpirlem3  16443  prmirredlem  16446  expmhm  16449  expghm  16450  mulgrhm  16460  zlmlmod  16477  domnchr  16486  znfld  16514  znidomb  16515  znunit  16517  znrrg  16519  clmmul  18573  clmmcl  18582  cphsubrglem  18613  cphdivcl  18618  cphabscl  18621  cphsqrcl2  18622  cphsqrcl3  18623  ipcau2  18664  plypf1  19594  dvply2g  19665  taylply2  19747  reefgim  19826  amgmlem  20284  amgm  20285  wilthlem2  20307  wilthlem3  20308  dchrelbas3  20477  dchrzrhmul  20485  dchrmulcl  20488  dchrn0  20489  dchrinvcl  20492  dchrsum2  20507  sum2dchr  20513  lgsdchr  20587  lgseisenlem3  20590  lgseisenlem4  20591  qabvexp  20775  ostthlem2  20777  padicabv  20779  ostth2lem2  20783  ostth3  20787  iistmd  23286  xrge0iifmhm  23321  xrge0pluscn  23322  mzpmfp  26825  cnsrexpcl  27370  cnsrplycl  27372  rngunsnply  27378  psgnghm  27437
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-cnfld 16378
  Copyright terms: Public domain W3C validator