MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldstr Structured version   Unicode version

Theorem cnfldstr 16695
Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldstr  |-fld Struct 
<. 1 , ; 1 3 >.

Proof of Theorem cnfldstr
StepHypRef Expression
1 df-cnfld 16694 . 2  |-fld  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) )
2 eqid 2435 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )
32srngfn 13574 . . 3  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } ) Struct  <. 1 ,  4
>.
4 9nn 10130 . . . . 5  |-  9  e.  NN
5 tsetndx 13604 . . . . 5  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
6 9lt10 10168 . . . . 5  |-  9  <  10
7 10nn 10131 . . . . 5  |-  10  e.  NN
8 plendx 13611 . . . . 5  |-  ( le
`  ndx )  =  10
9 dec10 10402 . . . . . 6  |-  10  = ; 1 0
10 1nn0 10227 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
11 0nn0 10226 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
12 2nn 10123 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
13 2pos 10072 . . . . . . 7  |-  0  <  2
1410, 11, 12, 13declt 10393 . . . . . 6  |- ; 1 0  < ; 1 2
159, 14eqbrtri 4223 . . . . 5  |-  10  < ; 1 2
1610, 12decnncl 10385 . . . . 5  |- ; 1 2  e.  NN
17 dsndx 13620 . . . . 5  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
184, 5, 6, 7, 8, 15, 16, 17strle3 13552 . . . 4  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. } Struct  <. 9 , ; 1
2 >.
19 3nn 10124 . . . . . 6  |-  3  e.  NN
2010, 19decnncl 10385 . . . . 5  |- ; 1 3  e.  NN
21 unifndx 13622 . . . . 5  |-  ( UnifSet ` 
ndx )  = ; 1 3
2220, 21strle1 13550 . . . 4  |-  { <. (
UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } Struct  <.; 1 3 , ; 1 3 >.
23 2nn0 10228 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
24 2lt3 10133 . . . . 5  |-  2  <  3
2510, 23, 19, 24declt 10393 . . . 4  |- ; 1 2  < ; 1 3
2618, 22, 25strleun 13549 . . 3  |-  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) Struct  <. 9 , ; 1
3 >.
27 4lt9 10164 . . 3  |-  4  <  9
283, 26, 27strleun 13549 . 2  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( * r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) ) Struct  <. 1 , ; 1 3 >.
291, 28eqbrtri 4223 1  |-fld Struct 
<. 1 , ; 1 3 >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    u. cun 3310   {csn 3806   {ctp 3808   <.cop 3809   class class class wbr 4204    o. ccom 4874   ` cfv 5446   CCcc 8978   0cc0 8980   1c1 8981    + caddc 8983    x. cmul 8985    < clt 9110    <_ cle 9111    - cmin 9281   2c2 10039   3c3 10040   4c4 10041   9c9 10046   10c10 10047  ;cdc 10372   *ccj 11891   abscabs 12029   Struct cstr 13455   ndxcnx 13456   Basecbs 13459   +g cplusg 13519   .rcmulr 13520   * rcstv 13521  TopSetcts 13525   lecple 13526   distcds 13528   UnifSetcunif 13529   MetOpencmopn 16681  metUnifcmetu 16683  ℂfldccnfld 16693
This theorem is referenced by:  cnfldex  16696  cnfldbas  16697  cnfldadd  16698  cnfldmul  16699  cnfldcj  16700  cnfldtset  16701  cnfldle  16702  cnfldds  16703  cnfldunif  16704
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-cnfld 16694
  Copyright terms: Public domain W3C validator