Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldsub Structured version   Unicode version

Theorem cnfldsub 16729
 Description: The subtraction operator in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldsub fld

Proof of Theorem cnfldsub
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 16707 . . . . 5 fld
2 cnfldadd 16708 . . . . 5 fld
3 eqid 2436 . . . . 5 fld fld
4 eqid 2436 . . . . 5 fld fld
51, 2, 3, 4grpsubval 14848 . . . 4 fld fld
6 cnfldneg 16727 . . . . . 6 fld
76adantl 453 . . . . 5 fld
87oveq2d 6097 . . . 4 fld
9 negsub 9349 . . . 4
105, 8, 93eqtrrd 2473 . . 3 fld
1110mpt2eq3ia 6139 . 2 fld
12 subf 9307 . . . 4
13 ffn 5591 . . . 4
1412, 13ax-mp 8 . . 3
15 fnov 6178 . . 3
1614, 15mpbi 200 . 2
17 cnrng 16723 . . . . 5 fld
18 rnggrp 15669 . . . . 5 fld fld
1917, 18ax-mp 8 . . . 4 fld
201, 4grpsubf 14868 . . . 4 fld fld
21 ffn 5591 . . . 4 fld fld
2219, 20, 21mp2b 10 . . 3 fld
23 fnov 6178 . . 3 fld fld fld
2422, 23mpbi 200 . 2 fld fld
2511, 16, 243eqtr4i 2466 1 fld
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   cxp 4876   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  cc 8988   caddc 8993   cmin 9291  cneg 9292  cgrp 14685  cminusg 14686  csg 14688  crg 15660  ℂfldccnfld 16703 This theorem is referenced by:  zndvds  16830  cnngp  18814  cnfldtgp  18899  clmsub  19105  clmsubcl  19110  qqhucn  24376 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-cmn 15414  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-cnfld 16704
 Copyright terms: Public domain W3C validator