MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldsub Structured version   Unicode version

Theorem cnfldsub 16729
Description: The subtraction operator in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldsub  |-  -  =  ( -g ` fld )

Proof of Theorem cnfldsub
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 16707 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnfldadd 16708 . . . . 5  |-  +  =  ( +g  ` fld )
3 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( inv g ` fld )  =  ( inv g ` fld )
4 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( -g ` fld )  =  ( -g ` fld )
51, 2, 3, 4grpsubval 14848 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x ( -g ` fld ) y )  =  ( x  +  ( ( inv g ` fld ) `  y ) ) )
6 cnfldneg 16727 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( inv g ` fld ) `  y )  =  -u y )
76adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( inv g ` fld ) `  y )  =  -u y )
87oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  ( ( inv g ` fld ) `  y ) )  =  ( x  +  -u y ) )
9 negsub 9349 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  -u y )  =  ( x  -  y ) )
105, 8, 93eqtrrd 2473 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  -  y
)  =  ( x ( -g ` fld ) y ) )
1110mpt2eq3ia 6139 . 2  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y ) )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x (
-g ` fld ) y ) )
12 subf 9307 . . . 4  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
13 ffn 5591 . . . 4  |-  (  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC  ->  -  Fn  ( CC  X.  CC ) )
1412, 13ax-mp 8 . . 3  |-  -  Fn  ( CC  X.  CC )
15 fnov 6178 . . 3  |-  (  -  Fn  ( CC  X.  CC ) 
<->  -  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y ) ) )
1614, 15mpbi 200 . 2  |-  -  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y
) )
17 cnrng 16723 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
18 rnggrp 15669 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Grp )
1917, 18ax-mp 8 . . . 4  |-fld  e.  Grp
201, 4grpsubf 14868 . . . 4  |-  (fld  e.  Grp  ->  ( -g ` fld ) : ( CC 
X.  CC ) --> CC )
21 ffn 5591 . . . 4  |-  ( (
-g ` fld ) : ( CC 
X.  CC ) --> CC 
->  ( -g ` fld )  Fn  ( CC  X.  CC ) )
2219, 20, 21mp2b 10 . . 3  |-  ( -g ` fld )  Fn  ( CC  X.  CC )
23 fnov 6178 . . 3  |-  ( (
-g ` fld )  Fn  ( CC  X.  CC )  <->  ( -g ` fld )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x (
-g ` fld ) y ) ) )
2422, 23mpbi 200 . 2  |-  ( -g ` fld )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x (
-g ` fld ) y ) )
2511, 16, 243eqtr4i 2466 1  |-  -  =  ( -g ` fld )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    X. cxp 4876    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   CCcc 8988    + caddc 8993    - cmin 9291   -ucneg 9292   Grpcgrp 14685   inv gcminusg 14686   -gcsg 14688   Ringcrg 15660  ℂfldccnfld 16703
This theorem is referenced by:  zndvds  16830  cnngp  18814  cnfldtgp  18899  clmsub  19105  clmsubcl  19110  qqhucn  24376
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-cmn 15414  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-cnfld 16704
  Copyright terms: Public domain W3C validator