MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldtopon Unicode version

Theorem cnfldtopon 18292
Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnfldtopn.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnfldtopon  |-  J  e.  (TopOn `  CC )

Proof of Theorem cnfldtopon
StepHypRef Expression
1 cnfldtps 18287 . 2  |-fld  e.  TopSp
2 cnfldbas 16383 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
3 cnfldtopn.1 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
42, 3istps 16674 . 2  |-  (fld  e.  TopSp  <->  J  e.  (TopOn `  CC )
)
51, 4mpbi 199 1  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255   CCcc 8735   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377  TopOnctopon 16632   TopSpctps 16634
This theorem is referenced by:  cnfldtop  18293  reperflem  18323  cnperf  18325  divcn  18372  fsumcn  18374  expcn  18376  divccn  18377  cncfcn1  18414  cncfmptc  18415  cncfmptid  18416  cncfmpt2f  18418  cdivcncf  18420  abscncfALT  18423  cncfcnvcn  18424  cnmptre  18425  iirevcn  18428  iihalf1cn  18430  iihalf2cn  18432  iimulcn  18436  icchmeo  18439  cnrehmeo  18451  cnheiborlem  18452  cnheibor  18453  cnllycmp  18454  evth  18457  evth2  18458  lebnumlem2  18460  reparphti  18495  pcoass  18522  csscld  18676  clsocv  18677  cncmet  18744  resscdrg  18775  mbfimaopnlem  19010  limcvallem  19221  ellimc2  19227  limcnlp  19228  limcflflem  19230  limcflf  19231  limcmo  19232  limcres  19236  cnplimc  19237  cnlimc  19238  limccnp  19241  limccnp2  19242  limciun  19244  dvbss  19251  perfdvf  19253  recnperf  19255  dvreslem  19259  dvres2lem  19260  dvres3a  19264  dvidlem  19265  dvcnp2  19269  dvcn  19270  dvnres  19280  dvaddbr  19287  dvmulbr  19288  dvcmulf  19294  dvcobr  19295  dvcjbr  19298  dvrec  19304  dvmptid  19306  dvmptc  19307  dvmptres2  19311  dvmptcmul  19313  dvmptntr  19320  dvmptfsum  19322  dvcnvlem  19323  dvcnv  19324  dvexp3  19325  dveflem  19326  dvlipcn  19341  lhop1lem  19360  lhop2  19362  lhop  19363  dvcnvrelem2  19365  dvcnvre  19366  ftc1lem3  19385  ftc1cn  19390  plycn  19642  dvply1  19664  dvtaylp  19749  taylthlem1  19752  taylthlem2  19753  ulmdvlem3  19779  psercn2  19799  psercn  19802  pserdvlem2  19804  pserdv  19805  abelth  19817  pige3  19885  logcn  19994  dvloglem  19995  logdmopn  19996  dvlog  19998  dvlog2  20000  efopnlem2  20004  efopn  20005  logtayl  20007  dvcxp1  20082  cxpcn  20085  cxpcn2  20086  cxpcn3  20088  resqrcn  20089  sqrcn  20090  loglesqr  20098  atansopn  20228  dvatan  20231  xrlimcnp  20263  efrlim  20264  ftalem3  20312  vmcn  21272  dipcn  21296  ipasslem7  21414  ipasslem8  21415  occllem  21882  nlelchi  22641  tpr2rico  23296  rmulccn  23301  raddcn  23302  cvxpcon  23773  cvxscon  23774  cnllyscon  23776  sinccvglem  24005  dvreasin  24923  areacirclem2  24925  areacirclem3  24926  areacirclem4  24927  areacirclem5  24929  ivthALT  26258  refsumcn  27701
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-xms 17885  df-ms 17886
  Copyright terms: Public domain W3C validator