MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldtopon Unicode version

Theorem cnfldtopon 18388
Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnfldtopn.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnfldtopon  |-  J  e.  (TopOn `  CC )

Proof of Theorem cnfldtopon
StepHypRef Expression
1 cnfldtps 18383 . 2  |-fld  e.  TopSp
2 cnfldbas 16480 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
3 cnfldtopn.1 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
42, 3istps 16774 . 2  |-  (fld  e.  TopSp  <->  J  e.  (TopOn `  CC )
)
51, 4mpbi 199 1  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1642    e. wcel 1710   ` cfv 5334   CCcc 8822   TopOpenctopn 13419  ℂfldccnfld 16476  TopOnctopon 16732   TopSpctps 16734
This theorem is referenced by:  cnfldtop  18389  sszcld  18419  reperflem  18420  cnperf  18422  divcn  18469  fsumcn  18471  expcn  18473  divccn  18474  cncfcn1  18511  cncfmptc  18512  cncfmptid  18513  cncfmpt2f  18515  cdivcncf  18518  abscncfALT  18521  cncfcnvcn  18522  cnmptre  18523  iirevcn  18526  iihalf1cn  18528  iihalf2cn  18530  iimulcn  18534  icchmeo  18537  cnrehmeo  18549  cnheiborlem  18550  cnheibor  18551  cnllycmp  18552  evth  18555  evth2  18556  lebnumlem2  18558  reparphti  18593  pcoass  18620  csscld  18774  clsocv  18775  cncmet  18842  resscdrg  18873  mbfimaopnlem  19108  limcvallem  19319  ellimc2  19325  limcnlp  19326  limcflflem  19328  limcflf  19329  limcmo  19330  limcres  19334  cnplimc  19335  cnlimc  19336  limccnp  19339  limccnp2  19340  limciun  19342  dvbss  19349  perfdvf  19351  recnperf  19353  dvreslem  19357  dvres2lem  19358  dvres3a  19362  dvidlem  19363  dvcnp2  19367  dvcn  19368  dvnres  19378  dvaddbr  19385  dvmulbr  19386  dvcmulf  19392  dvcobr  19393  dvcjbr  19396  dvrec  19402  dvmptid  19404  dvmptc  19405  dvmptres2  19409  dvmptcmul  19411  dvmptntr  19418  dvmptfsum  19420  dvcnvlem  19421  dvcnv  19422  dvexp3  19423  dveflem  19424  dvlipcn  19439  lhop1lem  19458  lhop2  19460  lhop  19461  dvcnvrelem2  19463  dvcnvre  19464  ftc1lem3  19483  ftc1cn  19488  plycn  19740  dvply1  19762  dvtaylp  19847  taylthlem1  19850  taylthlem2  19851  ulmdvlem3  19879  psercn2  19900  psercn  19903  pserdvlem2  19905  pserdv  19906  abelth  19918  pige3  19986  logcn  20099  dvloglem  20100  logdmopn  20101  dvlog  20103  dvlog2  20105  efopnlem2  20109  efopn  20110  logtayl  20112  dvcxp1  20187  cxpcn  20190  cxpcn2  20191  cxpcn3  20193  resqrcn  20194  sqrcn  20195  loglesqr  20203  atansopn  20333  dvatan  20336  xrlimcnp  20368  efrlim  20369  ftalem3  20418  vmcn  21380  dipcn  21404  ipasslem7  21522  ipasslem8  21523  occllem  21990  nlelchi  22749  tpr2rico  23466  rmulccn  23470  raddcn  23471  lgamucov  24071  lgamucov2  24072  cvxpcon  24177  cvxscon  24178  cnllyscon  24180  sinccvglem  24409  ftc1cnnc  25514  dvreasin  25515  areacirclem2  25517  areacirclem3  25518  areacirclem4  25519  areacirclem5  25521  ivthALT  25582  refsumcn  27024
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-fz 10872  df-seq 11136  df-exp 11195  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-rest 13420  df-topn 13421  df-topgen 13437  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-cnfld 16477  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-xms 17981  df-ms 17982
  Copyright terms: Public domain W3C validator