MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldtopon Unicode version

Theorem cnfldtopon 18770
Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnfldtopn.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnfldtopon  |-  J  e.  (TopOn `  CC )

Proof of Theorem cnfldtopon
StepHypRef Expression
1 cnfldtps 18765 . 2  |-fld  e.  TopSp
2 cnfldbas 16662 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
3 cnfldtopn.1 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
42, 3istps 16956 . 2  |-  (fld  e.  TopSp  <->  J  e.  (TopOn `  CC )
)
51, 4mpbi 200 1  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413   CCcc 8944   TopOpenctopn 13604  ℂfldccnfld 16658  TopOnctopon 16914   TopSpctps 16916
This theorem is referenced by:  cnfldtop  18771  sszcld  18801  reperflem  18802  cnperf  18804  divcn  18851  fsumcn  18853  expcn  18855  divccn  18856  cncfcn1  18893  cncfmptc  18894  cncfmptid  18895  cncfmpt2f  18897  cdivcncf  18900  abscncfALT  18903  cncfcnvcn  18904  cnmptre  18905  iirevcn  18908  iihalf1cn  18910  iihalf2cn  18912  iimulcn  18916  icchmeo  18919  cnrehmeo  18931  cnheiborlem  18932  cnheibor  18933  cnllycmp  18934  evth  18937  evth2  18938  lebnumlem2  18940  reparphti  18975  pcoass  19002  csscld  19156  clsocv  19157  cncmet  19228  resscdrg  19265  mbfimaopnlem  19500  limcvallem  19711  ellimc2  19717  limcnlp  19718  limcflflem  19720  limcflf  19721  limcmo  19722  limcres  19726  cnplimc  19727  cnlimc  19728  limccnp  19731  limccnp2  19732  limciun  19734  dvbss  19741  perfdvf  19743  recnperf  19745  dvreslem  19749  dvres2lem  19750  dvres3a  19754  dvidlem  19755  dvcnp2  19759  dvcn  19760  dvnres  19770  dvaddbr  19777  dvmulbr  19778  dvcmulf  19784  dvcobr  19785  dvcjbr  19788  dvrec  19794  dvmptid  19796  dvmptc  19797  dvmptres2  19801  dvmptcmul  19803  dvmptntr  19810  dvmptfsum  19812  dvcnvlem  19813  dvcnv  19814  dvexp3  19815  dveflem  19816  dvlipcn  19831  lhop1lem  19850  lhop2  19852  lhop  19853  dvcnvrelem2  19855  dvcnvre  19856  ftc1lem3  19875  ftc1cn  19880  plycn  20132  dvply1  20154  dvtaylp  20239  taylthlem1  20242  taylthlem2  20243  ulmdvlem3  20271  psercn2  20292  psercn  20295  pserdvlem2  20297  pserdv  20298  abelth  20310  pige3  20378  logcn  20491  dvloglem  20492  logdmopn  20493  dvlog  20495  dvlog2  20497  efopnlem2  20501  efopn  20502  logtayl  20504  dvcxp1  20579  cxpcn  20582  cxpcn2  20583  cxpcn3  20585  resqrcn  20586  sqrcn  20587  loglesqr  20595  atansopn  20725  dvatan  20728  xrlimcnp  20760  efrlim  20761  ftalem3  20810  vmcn  22148  dipcn  22172  ipasslem7  22290  ipasslem8  22291  occllem  22758  nlelchi  23517  tpr2rico  24263  rmulccn  24267  raddcn  24268  lgamucov  24775  lgamucov2  24776  cvxpcon  24882  cvxscon  24883  cnllyscon  24885  sinccvglem  25062  ftc1cnnc  26178  dvreasin  26179  areacirclem2  26181  areacirclem3  26182  areacirclem4  26183  areacirclem5  26185  ivthALT  26228  refsumcn  27568
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-xms 18303  df-ms 18304
  Copyright terms: Public domain W3C validator