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Theorem cnflf 17995
Description: A function is continuous iff it respects filter limits. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnflf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  f
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f, X    f, Y, x    f, F, x    f, J, x   
f, K, x

Proof of Theorem cnflf
StepHypRef Expression
1 cncnp 17306 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
2 cnpflf 17994 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fLim  f
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) ) )
323expa 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) ) )
43adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fLim  f
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) ) )
5 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  F : X
--> Y )
65biantrurd 495 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fLim  f
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) ) )
74, 6bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J 
fLim  f )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) ) )
87ralbidva 2690 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fLim  f
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) )
9 eqid 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
109flimelbas 17961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  x  e.  U. J )
11 toponuni 16955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1211ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  X  =  U. J )
1312eleq2d 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. J ) )
1410, 13syl5ibr 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  f )  ->  x  e.  X )
)
1514pm4.71rd 617 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  f )  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
1615imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) ) )
17 impexp 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) )  <-> 
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) ) )
1816, 17syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) )  <->  ( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) ) )
1918ralbidv2 2696 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  ( J  fLim  f ) ( F `  x )  e.  ( ( K 
fLimf  f ) `  F
)  <->  A. x  e.  X  ( x  e.  ( J  fLim  f )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) ) )
2019ralbidv 2694 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  ( J  fLim  f ) ( F `
 x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  X  (
x  e.  ( J 
fLim  f )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) ) )
21 ralcom 2836 . . . . 5  |-  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  X  ( x  e.  ( J  fLim  f
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) )  <->  A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J 
fLim  f )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) )
2220, 21syl6bb 253 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  ( J  fLim  f ) ( F `
 x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F )  <->  A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J 
fLim  f )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) ) )
238, 22bitr4d 248 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  f
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) )
2423pm5.32da 623 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  f
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) )
251, 24bitrd 245 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  f
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   U.cuni 3983   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048  TopOnctopon 16922    Cn ccn 17250    CnP ccnp 17251   Filcfil 17838    fLim cflim 17927    fLimf cflf 17928
This theorem is referenced by:  cnflf2  17996  fmcncfil  24278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-map 6987  df-topgen 13630  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-top 16926  df-topon 16929  df-ntr 17047  df-nei 17125  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933
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