Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnflf Structured version   Unicode version

Theorem cnflf 18039
 Description: A function is continuous iff it respects filter limits. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnflf TopOn TopOn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem cnflf
StepHypRef Expression
1 cncnp 17349 . 2 TopOn TopOn
2 cnpflf 18038 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
323expa 1154 . . . . . . 7 TopOn TopOn
43adantlr 697 . . . . . 6 TopOn TopOn
5 simplr 733 . . . . . . 7 TopOn TopOn
65biantrurd 496 . . . . . 6 TopOn TopOn
74, 6bitr4d 249 . . . . 5 TopOn TopOn
87ralbidva 2723 . . . 4 TopOn TopOn
9 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12
109flimelbas 18005 . . . . . . . . . . 11
11 toponuni 16997 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
1211ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
1312eleq2d 2505 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
1410, 13syl5ibr 214 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
1514pm4.71rd 618 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
1615imbi1d 310 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
17 impexp 435 . . . . . . . 8
1816, 17syl6bb 254 . . . . . . 7 TopOn TopOn
1918ralbidv2 2729 . . . . . 6 TopOn TopOn
2019ralbidv 2727 . . . . 5 TopOn TopOn
21 ralcom 2870 . . . . 5
2220, 21syl6bb 254 . . . 4 TopOn TopOn
238, 22bitr4d 249 . . 3 TopOn TopOn
2423pm5.32da 624 . 2 TopOn TopOn
251, 24bitrd 246 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cuni 4017  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  TopOnctopon 16964   ccn 17293   ccnp 17294  cfil 17882   cflim 17971   cflf 17972 This theorem is referenced by:  cnflf2  18040  fmcncfil  24322 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-map 7023  df-topgen 13672  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-top 16968  df-topon 16971  df-ntr 17089  df-nei 17167  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977
 Copyright terms: Public domain W3C validator