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Theorem cnflf 18039
Description: A function is continuous iff it respects filter limits. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnflf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  f
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f, X    f, Y, x    f, F, x    f, J, x   
f, K, x

Proof of Theorem cnflf
StepHypRef Expression
1 cncnp 17349 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
2 cnpflf 18038 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fLim  f
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) ) )
323expa 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) ) )
43adantlr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fLim  f
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) ) )
5 simplr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  F : X
--> Y )
65biantrurd 496 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fLim  f
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) ) )
74, 6bitr4d 249 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J 
fLim  f )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) ) )
87ralbidva 2723 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fLim  f
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) )
9 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
109flimelbas 18005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  x  e.  U. J )
11 toponuni 16997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1211ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  X  =  U. J )
1312eleq2d 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. J ) )
1410, 13syl5ibr 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  f )  ->  x  e.  X )
)
1514pm4.71rd 618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  f )  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
1615imbi1d 310 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) ) )
17 impexp 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) )  <-> 
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) ) )
1816, 17syl6bb 254 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) )  <->  ( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) ) )
1918ralbidv2 2729 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  ( J  fLim  f ) ( F `  x )  e.  ( ( K 
fLimf  f ) `  F
)  <->  A. x  e.  X  ( x  e.  ( J  fLim  f )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) ) )
2019ralbidv 2727 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  ( J  fLim  f ) ( F `
 x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  X  (
x  e.  ( J 
fLim  f )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) ) )
21 ralcom 2870 . . . . 5  |-  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  X  ( x  e.  ( J  fLim  f
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) )  <->  A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J 
fLim  f )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) )
2220, 21syl6bb 254 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  ( J  fLim  f ) ( F `
 x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F )  <->  A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J 
fLim  f )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) ) )
238, 22bitr4d 249 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  f
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) )
2423pm5.32da 624 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  f
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) )
251, 24bitrd 246 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  f
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   U.cuni 4017   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084  TopOnctopon 16964    Cn ccn 17293    CnP ccnp 17294   Filcfil 17882    fLim cflim 17971    fLimf cflf 17972
This theorem is referenced by:  cnflf2  18040  fmcncfil  24322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-map 7023  df-topgen 13672  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-top 16968  df-topon 16971  df-ntr 17089  df-nei 17167  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977
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