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Theorem cnhaus 17342
Description: The preimage of a Hausdorff topology under an injective map is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnhaus  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Haus )

Proof of Theorem cnhaus
Dummy variables  x  y  v  u  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 17228 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
213ad2ant3 980 . 2  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Top )
3 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  K  e.  Haus )
4 simpl3 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
5 eqid 2389 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
6 eqid 2389 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. K
75, 6cnf 17234 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
84, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  F : U. J --> U. K
)
9 simprll 739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  e.  U. J )
108, 9ffvelrnd 5812 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( F `  x )  e.  U. K )
11 simprlr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  y  e.  U. J )
128, 11ffvelrnd 5812 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( F `  y )  e.  U. K )
13 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  =/=  y )
14 simpl2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  F : X -1-1-> Y )
15 fdm 5537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  dom  F  =  U. J )
168, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  dom  F  =  U. J )
17 f1dm 5585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-> Y  ->  dom  F  =  X )
1814, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  dom  F  =  X )
1916, 18eqtr3d 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  U. J  =  X )
209, 19eleqtrd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  e.  X )
2111, 19eleqtrd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  y  e.  X )
22 f1fveq 5949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  x  =  y ) )
2314, 20, 21, 22syl12anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  x  =  y ) )
2423necon3bid 2587 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  (
( F `  x
)  =/=  ( F `
 y )  <->  x  =/=  y ) )
2513, 24mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( F `  x )  =/=  ( F `  y
) )
266hausnei 17316 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  (
( F `  x
)  e.  U. K  /\  ( F `  y
)  e.  U. K  /\  ( F `  x
)  =/=  ( F `
 y ) ) )  ->  E. u  e.  K  E. v  e.  K  ( ( F `  x )  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
273, 10, 12, 25, 26syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. u  e.  K  E. v  e.  K  ( ( F `  x )  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
28 simpll3 998 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
29 simprll 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  u  e.  K
)
30 cnima 17253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  u  e.  K )  ->  ( `' F "
u )  e.  J
)
3128, 29, 30syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( `' F " u )  e.  J
)
32 simprlr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  v  e.  K
)
33 cnima 17253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  v  e.  K )  ->  ( `' F "
v )  e.  J
)
3428, 32, 33syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( `' F " v )  e.  J
)
359adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  U. J )
36 simprr1 1005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  u
)
378adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  F : U. J
--> U. K )
38 ffn 5533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  Fn  U. J
)
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  F  Fn  U. J )
40 elpreima 5791 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( x  e.  ( `' F " u )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  ( F `  x )  e.  u
) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' F "
u )  <->  ( x  e.  U. J  /\  ( F `  x )  e.  u ) ) )
4235, 36, 41mpbir2and 889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  ( `' F " u ) )
4311adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  U. J )
44 simprr2 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  v )
45 elpreima 5791 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( y  e.  ( `' F " v )  <-> 
( y  e.  U. J  /\  ( F `  y )  e.  v ) ) )
4639, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( y  e.  ( `' F "
v )  <->  ( y  e.  U. J  /\  ( F `  y )  e.  v ) ) )
4743, 44, 46mpbir2and 889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  ( `' F " v ) )
48 ffun 5535 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  Fun  F )
49 inpreima 5798 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
5037, 48, 493syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( `' F " ( u  i^i  v
) )  =  ( ( `' F "
u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
51 simprr3 1007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( u  i^i  v )  =  (/) )
5251imaeq2d 5145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( `' F " ( u  i^i  v
) )  =  ( `' F " (/) ) )
53 ima0 5163 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " (/) )  =  (/)
5452, 53syl6eq 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( `' F " ( u  i^i  v
) )  =  (/) )
5550, 54eqtr3d 2423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) )  =  (/) )
56 eleq2 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( `' F " u )  ->  (
x  e.  m  <->  x  e.  ( `' F " u ) ) )
57 ineq1 3480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( `' F " u )  ->  (
m  i^i  n )  =  ( ( `' F " u )  i^i  n ) )
5857eqeq1d 2397 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( `' F " u )  ->  (
( m  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( ( `' F " u )  i^i  n )  =  (/) ) )
5956, 583anbi13d 1256 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( `' F " u )  ->  (
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( `' F "
u )  /\  y  e.  n  /\  (
( `' F "
u )  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
60 eleq2 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( `' F " v )  ->  (
y  e.  n  <->  y  e.  ( `' F " v ) ) )
61 ineq2 3481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( `' F " v )  ->  (
( `' F "
u )  i^i  n
)  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
6261eqeq1d 2397 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( `' F " v )  ->  (
( ( `' F " u )  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) )  =  (/) ) )
6360, 623anbi23d 1257 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( `' F " v )  ->  (
( x  e.  ( `' F " u )  /\  y  e.  n  /\  ( ( `' F " u )  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( `' F "
u )  /\  y  e.  ( `' F "
v )  /\  (
( `' F "
u )  i^i  ( `' F " v ) )  =  (/) ) ) )
6459, 63rspc2ev 3005 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
u )  e.  J  /\  ( `' F "
v )  e.  J  /\  ( x  e.  ( `' F " u )  /\  y  e.  ( `' F " v )  /\  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) )  =  (/) ) )  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
6531, 34, 42, 47, 55, 64syl113anc 1196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
6665expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  K  /\  v  e.  K
) )  ->  (
( ( F `  x )  e.  u  /\  ( F `  y
)  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
6766rexlimdvva 2782 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( E. u  e.  K  E. v  e.  K  ( ( F `  x )  e.  u  /\  ( F `  y
)  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
6827, 67mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
6968expr 599 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
7069ralrimivva 2743 . 2  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
715ishaus 17310 . 2  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
722, 70, 71sylanbrc 646 1  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Haus )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   E.wrex 2652    i^i cin 3264   (/)c0 3573   U.cuni 3959   `'ccnv 4819   dom cdm 4820   "cima 4823   Fun wfun 5390    Fn wfn 5391   -->wf 5392   -1-1->wf1 5393   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Topctop 16883    Cn ccn 17212   Hauscha 17296
This theorem is referenced by:  resthaus  17356  sshaus  17363  haushmph  17747
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-map 6958  df-top 16888  df-topon 16891  df-cn 17215  df-haus 17303
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