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Theorem cnhaus 17082
Description: The preimage of a Hausdorff topology under an injective map is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnhaus  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Haus )

Proof of Theorem cnhaus
Dummy variables  x  y  v  u  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 16970 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
213ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Top )
3 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  K  e.  Haus )
4 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
5 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
6 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. K
75, 6cnf 16976 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
84, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  F : U. J --> U. K
)
9 simprll 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  e.  U. J )
10 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  x  e.  U. J )  -> 
( F `  x
)  e.  U. K
)
118, 9, 10syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( F `  x )  e.  U. K )
12 simprlr 739 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  y  e.  U. J )
13 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. J --> U. K  /\  y  e.  U. J )  -> 
( F `  y
)  e.  U. K
)
148, 12, 13syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( F `  y )  e.  U. K )
15 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  =/=  y )
16 simpl2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  F : X -1-1-> Y )
17 fdm 5393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  dom  F  =  U. J )
188, 17syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  dom  F  =  U. J )
19 f1dm 5441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-> Y  ->  dom  F  =  X )
2016, 19syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  dom  F  =  X )
2118, 20eqtr3d 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  U. J  =  X )
229, 21eleqtrd 2359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  e.  X )
2312, 21eleqtrd 2359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  y  e.  X )
24 f1fveq 5786 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  x  =  y ) )
2516, 22, 23, 24syl12anc 1180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  x  =  y ) )
2625necon3bid 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  (
( F `  x
)  =/=  ( F `
 y )  <->  x  =/=  y ) )
2715, 26mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( F `  x )  =/=  ( F `  y
) )
286hausnei 17056 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  (
( F `  x
)  e.  U. K  /\  ( F `  y
)  e.  U. K  /\  ( F `  x
)  =/=  ( F `
 y ) ) )  ->  E. u  e.  K  E. v  e.  K  ( ( F `  x )  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
293, 11, 14, 27, 28syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. u  e.  K  E. v  e.  K  ( ( F `  x )  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
30 simpll3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
31 simprll 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  u  e.  K
)
32 cnima 16994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  u  e.  K )  ->  ( `' F "
u )  e.  J
)
3330, 31, 32syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( `' F " u )  e.  J
)
34 simprlr 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  v  e.  K
)
35 cnima 16994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  v  e.  K )  ->  ( `' F "
v )  e.  J
)
3630, 34, 35syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( `' F " v )  e.  J
)
379adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  U. J )
38 simprr1 1003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  u
)
398adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  F : U. J
--> U. K )
40 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  Fn  U. J
)
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  F  Fn  U. J )
42 elpreima 5645 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( x  e.  ( `' F " u )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  ( F `  x )  e.  u
) ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' F "
u )  <->  ( x  e.  U. J  /\  ( F `  x )  e.  u ) ) )
4437, 38, 43mpbir2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  ( `' F " u ) )
4512adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  U. J )
46 simprr2 1004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  v )
47 elpreima 5645 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( y  e.  ( `' F " v )  <-> 
( y  e.  U. J  /\  ( F `  y )  e.  v ) ) )
4841, 47syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( y  e.  ( `' F "
v )  <->  ( y  e.  U. J  /\  ( F `  y )  e.  v ) ) )
4945, 46, 48mpbir2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  ( `' F " v ) )
50 ffun 5391 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  Fun  F )
51 inpreima 5652 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
5239, 50, 513syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( `' F " ( u  i^i  v
) )  =  ( ( `' F "
u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
53 simprr3 1005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( u  i^i  v )  =  (/) )
5453imaeq2d 5012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( `' F " ( u  i^i  v
) )  =  ( `' F " (/) ) )
55 ima0 5030 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " (/) )  =  (/)
5654, 55syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( `' F " ( u  i^i  v
) )  =  (/) )
5752, 56eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) )  =  (/) )
58 eleq2 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( `' F " u )  ->  (
x  e.  m  <->  x  e.  ( `' F " u ) ) )
59 ineq1 3363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( `' F " u )  ->  (
m  i^i  n )  =  ( ( `' F " u )  i^i  n ) )
6059eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( `' F " u )  ->  (
( m  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( ( `' F " u )  i^i  n )  =  (/) ) )
6158, 603anbi13d 1254 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( `' F " u )  ->  (
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( `' F "
u )  /\  y  e.  n  /\  (
( `' F "
u )  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
62 eleq2 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( `' F " v )  ->  (
y  e.  n  <->  y  e.  ( `' F " v ) ) )
63 ineq2 3364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( `' F " v )  ->  (
( `' F "
u )  i^i  n
)  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
6463eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( `' F " v )  ->  (
( ( `' F " u )  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) )  =  (/) ) )
6562, 643anbi23d 1255 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( `' F " v )  ->  (
( x  e.  ( `' F " u )  /\  y  e.  n  /\  ( ( `' F " u )  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( `' F "
u )  /\  y  e.  ( `' F "
v )  /\  (
( `' F "
u )  i^i  ( `' F " v ) )  =  (/) ) ) )
6661, 65rspc2ev 2892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
u )  e.  J  /\  ( `' F "
v )  e.  J  /\  ( x  e.  ( `' F " u )  /\  y  e.  ( `' F " v )  /\  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) )  =  (/) ) )  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
6733, 36, 44, 49, 57, 66syl113anc 1194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
6867expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  K  /\  v  e.  K
) )  ->  (
( ( F `  x )  e.  u  /\  ( F `  y
)  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
6968rexlimdvva 2674 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( E. u  e.  K  E. v  e.  K  ( ( F `  x )  e.  u  /\  ( F `  y
)  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
7029, 69mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
7170expr 598 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
7271ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
735ishaus 17050 . 2  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
742, 72, 73sylanbrc 645 1  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Haus )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151   (/)c0 3455   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631    Cn ccn 16954   Hauscha 17036
This theorem is referenced by:  resthaus  17096  sshaus  17103  haushmph  17483
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-cn 16957  df-haus 17043
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