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Theorem cnheiborlem 18452
Description: Lemma for cnheibor 18453. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnheibor.2  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cnheibor.3  |-  T  =  ( Jt  X )
cnheibor.4  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
cnheibor.5  |-  Y  =  ( F " (
( -u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) )
Assertion
Ref Expression
cnheiborlem  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  T  e.  Comp )
Distinct variable groups:    x, y,
z    z, F    z, R    x, T, y, z    x, J, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    R( x, y)    F( x, y)    Y( x, y, z)

Proof of Theorem cnheiborlem
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnheibor.2 . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtop 18293 . . . . 5  |-  J  e. 
Top
32a1i 10 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  J  e.  Top )
4 cnheibor.4 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
54cnref1o 10349 . . . . . . . . 9  |-  F :
( RR  X.  RR )
-1-1-onto-> CC
6 f1ofn 5473 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  F  Fn  ( RR  X.  RR ) )
7 elpreima 5645 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  ( RR  X.  RR )  ->  ( u  e.  ( `' F " X )  <->  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) ) )
85, 6, 7mp2b 9 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( `' F " X )  <->  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )
9 1st2nd2 6159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  ->  u  = 
<. ( 1st `  u
) ,  ( 2nd `  u ) >. )
109ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  u  =  <. ( 1st `  u
) ,  ( 2nd `  u ) >. )
11 xp1st 6149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 1st `  u )  e.  RR )
1211ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 1st `  u )  e.  RR )
1312recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 1st `  u )  e.  CC )
1413abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 1st `  u
) )  e.  RR )
151cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1615toponunii 16670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  CC  =  U. J
1716cldss 16766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  ( Clsd `  J
)  ->  X  C_  CC )
1817adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  X  C_  CC )
1918adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  X  C_  CC )
20 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( F `  u )  e.  X )
2119, 20sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( F `  u )  e.  CC )
2221abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( F `  u ) )  e.  RR )
23 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  R  e.  RR )
24 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  u  e.  ( RR  X.  RR ) )
25 f1ocnvfv1 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( RR 
X.  RR ) -1-1-onto-> CC  /\  u  e.  ( RR  X.  RR ) )  -> 
( `' F `  ( F `  u ) )  =  u )
265, 24, 25sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 u ) )  =  u )
27 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  (
Re `  z )  =  ( Re `  ( F `  u ) ) )
28 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  (
Im `  z )  =  ( Im `  ( F `  u ) ) )
2927, 28opeq12d 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  <. (
Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >.  =  <. ( Re `  ( F `
 u ) ) ,  ( Im `  ( F `  u ) ) >. )
304cnrecnv 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
31 opex 4237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  <. (
Re `  ( F `  u ) ) ,  ( Im `  ( F `  u )
) >.  e.  _V
3229, 30, 31fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  u )  e.  CC  ->  ( `' F `  ( F `
 u ) )  =  <. ( Re `  ( F `  u ) ) ,  ( Im
`  ( F `  u ) ) >.
)
3321, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 u ) )  =  <. ( Re `  ( F `  u ) ) ,  ( Im
`  ( F `  u ) ) >.
)
3426, 33eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  u  =  <. ( Re `  ( F `  u ) ) ,  ( Im
`  ( F `  u ) ) >.
)
3534fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 1st `  u )  =  ( 1st `  <. ( Re `  ( F `
 u ) ) ,  ( Im `  ( F `  u ) ) >. ) )
36 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Re
`  ( F `  u ) )  e. 
_V
37 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Im
`  ( F `  u ) )  e. 
_V
3836, 37op1st 6128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1st `  <. ( Re `  ( F `  u ) ) ,  ( Im
`  ( F `  u ) ) >.
)  =  ( Re
`  ( F `  u ) )
3935, 38syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 1st `  u )  =  ( Re `  ( F `  u )
) )
4039fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 1st `  u
) )  =  ( abs `  ( Re
`  ( F `  u ) ) ) )
41 absrele 11793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  u )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Re `  ( F `  u ) ) )  <_  ( abs `  ( F `  u ) ) )
4221, 41syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( Re `  ( F `  u ) ) )  <_  ( abs `  ( F `  u ) ) )
4340, 42eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 1st `  u
) )  <_  ( abs `  ( F `  u ) ) )
44 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R
)
45 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  ( abs `  z )  =  ( abs `  ( F `  u )
) )
4645breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  (
( abs `  z
)  <_  R  <->  ( abs `  ( F `  u
) )  <_  R
) )
4746rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  u )  e.  X  ->  ( A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R  ->  ( abs `  ( F `  u ) )  <_  R ) )
4820, 44, 47sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( F `  u ) )  <_  R )
4914, 22, 23, 43, 48letrd 8973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 1st `  u
) )  <_  R
)
5012, 23absled 11913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  (
( abs `  ( 1st `  u ) )  <_  R  <->  ( -u R  <_  ( 1st `  u
)  /\  ( 1st `  u )  <_  R
) ) )
5149, 50mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( -u R  <_  ( 1st `  u )  /\  ( 1st `  u )  <_  R ) )
5251simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  -u R  <_  ( 1st `  u
) )
5351simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 1st `  u )  <_  R )
54 renegcl 9110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RR  ->  -u R  e.  RR )
5523, 54syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  -u R  e.  RR )
56 elicc2 10715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u R  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( 1st `  u )  e.  (
-u R [,] R
)  <->  ( ( 1st `  u )  e.  RR  /\  -u R  <_  ( 1st `  u )  /\  ( 1st `  u )  <_  R ) ) )
5755, 23, 56syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  (
( 1st `  u
)  e.  ( -u R [,] R )  <->  ( ( 1st `  u )  e.  RR  /\  -u R  <_  ( 1st `  u
)  /\  ( 1st `  u )  <_  R
) ) )
5812, 52, 53, 57mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 1st `  u )  e.  ( -u R [,] R ) )
59 xp2nd 6150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 2nd `  u )  e.  RR )
6059ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 2nd `  u )  e.  RR )
6160recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 2nd `  u )  e.  CC )
6261abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 2nd `  u
) )  e.  RR )
6334fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 2nd `  u )  =  ( 2nd `  <. ( Re `  ( F `
 u ) ) ,  ( Im `  ( F `  u ) ) >. ) )
6436, 37op2nd 6129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2nd `  <. ( Re `  ( F `  u ) ) ,  ( Im
`  ( F `  u ) ) >.
)  =  ( Im
`  ( F `  u ) )
6563, 64syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 2nd `  u )  =  ( Im `  ( F `  u )
) )
6665fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 2nd `  u
) )  =  ( abs `  ( Im
`  ( F `  u ) ) ) )
67 absimle 11794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  u )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( F `  u ) ) )  <_  ( abs `  ( F `  u ) ) )
6821, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( F `  u ) ) )  <_  ( abs `  ( F `  u ) ) )
6966, 68eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 2nd `  u
) )  <_  ( abs `  ( F `  u ) ) )
7062, 22, 23, 69, 48letrd 8973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 2nd `  u
) )  <_  R
)
7160, 23absled 11913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  (
( abs `  ( 2nd `  u ) )  <_  R  <->  ( -u R  <_  ( 2nd `  u
)  /\  ( 2nd `  u )  <_  R
) ) )
7270, 71mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( -u R  <_  ( 2nd `  u )  /\  ( 2nd `  u )  <_  R ) )
7372simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  -u R  <_  ( 2nd `  u
) )
7472simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 2nd `  u )  <_  R )
75 elicc2 10715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u R  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( 2nd `  u )  e.  (
-u R [,] R
)  <->  ( ( 2nd `  u )  e.  RR  /\  -u R  <_  ( 2nd `  u )  /\  ( 2nd `  u )  <_  R ) ) )
7655, 23, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  (
( 2nd `  u
)  e.  ( -u R [,] R )  <->  ( ( 2nd `  u )  e.  RR  /\  -u R  <_  ( 2nd `  u
)  /\  ( 2nd `  u )  <_  R
) ) )
7760, 73, 74, 76mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 2nd `  u )  e.  ( -u R [,] R ) )
78 opelxpi 4721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1st `  u
)  e.  ( -u R [,] R )  /\  ( 2nd `  u )  e.  ( -u R [,] R ) )  ->  <. ( 1st `  u
) ,  ( 2nd `  u ) >.  e.  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) )
7958, 77, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  <. ( 1st `  u ) ,  ( 2nd `  u
) >.  e.  ( (
-u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) )
8010, 79eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  u  e.  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) )
8180ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
)  ->  u  e.  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )
828, 81syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( u  e.  ( `' F " X )  ->  u  e.  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )
8382ssrdv 3185 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( `' F " X )  C_  (
( -u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) )
84 f1ofun 5474 . . . . . . . 8  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  Fun  F )
855, 84ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  Fun  F
86 f1ofo 5479 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  F :
( RR  X.  RR ) -onto-> CC )
87 forn 5454 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) -onto-> CC  ->  ran  F  =  CC )
885, 86, 87mp2b 9 . . . . . . . 8  |-  ran  F  =  CC
8918, 88syl6sseqr 3225 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  X  C_  ran  F )
90 funimass1 5325 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  X  C_ 
ran  F )  -> 
( ( `' F " X )  C_  (
( -u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) )  ->  X  C_  ( F " ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) ) )
9185, 89, 90sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( ( `' F " X )  C_  (
( -u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) )  ->  X  C_  ( F " ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) ) )
9283, 91mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  X  C_  ( F "
( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )
93 cnheibor.5 . . . . 5  |-  Y  =  ( F " (
( -u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) )
9492, 93syl6sseqr 3225 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  X  C_  Y )
95 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
964, 95, 1cnrehmeo 18451 . . . . . . 7  |-  F  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Homeo  J )
97 imaexg 5026 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Homeo  J )  -> 
( F " (
( -u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) )  e.  _V )
9896, 97ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( F
" ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) )  e.  _V
9993, 98eqeltri 2353 . . . . 5  |-  Y  e. 
_V
10099a1i 10 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  Y  e.  _V )
101 restabs 16896 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  Y  /\  Y  e.  _V )  ->  (
( Jt  Y )t  X )  =  ( Jt  X ) )
1023, 94, 100, 101syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( ( Jt  Y )t  X )  =  ( Jt  X ) )
103 cnheibor.3 . . 3  |-  T  =  ( Jt  X )
104102, 103syl6eqr 2333 . 2  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( ( Jt  Y )t  X )  =  T )
10593oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  ( F " ( (
-u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )
106 ishmeo 17450 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Homeo  J )  <->  ( F  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Cn  J )  /\  `' F  e.  ( J  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
) ) ) )
10796, 106mpbi 199 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Cn  J )  /\  `' F  e.  ( J  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
) ) )
108107simpli 444 . . . . . 6  |-  F  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Cn  J )
109 iccssre 10731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u R  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( -u R [,] R )  C_  RR )
11054, 109mpancom 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  RR  ->  ( -u R [,] R ) 
C_  RR )
1111, 95rerest 18310 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u R [,] R
)  C_  RR  ->  ( Jt  ( -u R [,] R ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) ) )
112110, 111syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR  ->  ( Jt  ( -u R [,] R
) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) ) )
113112, 112oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR  ->  (
( Jt  ( -u R [,] R ) )  tX  ( Jt  ( -u R [,] R ) ) )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )  tX  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) ) ) )
114 retop 18270 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
115 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( -u R [,] R )  e. 
_V
116 txrest 17325 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )  /\  (
( -u R [,] R
)  e.  _V  /\  ( -u R [,] R
)  e.  _V )
)  ->  ( (
( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)t  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) )  =  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )  tX  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) ) ) )
117114, 114, 115, 115, 116mp4an 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)t  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) )  =  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )  tX  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) ) )
118113, 117syl6eqr 2333 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR  ->  (
( Jt  ( -u R [,] R ) )  tX  ( Jt  ( -u R [,] R ) ) )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)t  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )
119 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )
12095, 119icccmp 18330 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u R  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )  e. 
Comp )
12154, 120mpancom 650 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )  e.  Comp )
122112, 121eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR  ->  ( Jt  ( -u R [,] R
) )  e.  Comp )
123 txcmp 17337 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Jt  ( -u R [,] R ) )  e. 
Comp  /\  ( Jt  ( -u R [,] R ) )  e.  Comp )  ->  (
( Jt  ( -u R [,] R ) )  tX  ( Jt  ( -u R [,] R ) ) )  e.  Comp )
124122, 122, 123syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR  ->  (
( Jt  ( -u R [,] R ) )  tX  ( Jt  ( -u R [,] R ) ) )  e.  Comp )
125118, 124eqeltrrd 2358 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR  ->  (
( ( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen ` 
ran  (,) ) )t  ( (
-u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) )  e.  Comp )
126 imacmp 17124 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Cn  J )  /\  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)t  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) )  e.  Comp )  ->  ( Jt  ( F
" ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )  e.  Comp )
127108, 125, 126sylancr 644 . . . . 5  |-  ( R  e.  RR  ->  ( Jt  ( F " ( (
-u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )  e.  Comp )
128105, 127syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( R  e.  RR  ->  ( Jt  Y )  e.  Comp )
129128ad2antrl 708 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( Jt  Y )  e.  Comp )
130 imassrn 5025 . . . . . . 7  |-  ( F
" ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) 
C_  ran  F
13193, 130eqsstri 3208 . . . . . 6  |-  Y  C_  ran  F
132 f1of 5472 . . . . . . 7  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  F :
( RR  X.  RR )
--> CC )
133 frn 5395 . . . . . . 7  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) --> CC  ->  ran  F 
C_  CC )
1345, 132, 133mp2b 9 . . . . . 6  |-  ran  F  C_  CC
135131, 134sstri 3188 . . . . 5  |-  Y  C_  CC
136135a1i 10 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  Y  C_  CC )
137 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  X  e.  ( Clsd `  J ) )
13816restcldi 16904 . . . 4  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  X  e.  ( Clsd `  J
)  /\  X  C_  Y
)  ->  X  e.  ( Clsd `  ( Jt  Y
) ) )
139136, 137, 94, 138syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  X  e.  ( Clsd `  ( Jt  Y ) ) )
140 cmpcld 17129 . . 3  |-  ( ( ( Jt  Y )  e.  Comp  /\  X  e.  ( Clsd `  ( Jt  Y ) ) )  ->  ( ( Jt  Y )t  X )  e.  Comp )
141129, 139, 140syl2anc 642 . 2  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( ( Jt  Y )t  X )  e.  Comp )
142104, 141eqeltrrd 2358 1  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  T  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   <.cop 3643   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   CCcc 8735   RRcr 8736   _ici 8739    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868   -ucneg 9038   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   Recre 11582   Imcim 11583   abscabs 11719   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631   Clsdccld 16753    Cn ccn 16954   Compccmp 17113    tX ctx 17255    Homeo chmeo 17444
This theorem is referenced by:  cnheibor  18453
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382
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