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Theorem cniccbdd 18821
Description: A continuous function on a closed interval is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cniccbdd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem cniccbdd
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 8838 . . 3  |-  0  e.  RR
2 ral0 3558 . . . 4  |-  A. y  e.  (/)  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  0
3 simp1 955 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  A  e.  RR )
43rexrd 8881 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  A  e.  RR* )
5 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  B  e.  RR )
65rexrd 8881 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  B  e.  RR* )
7 icc0 10704 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
84, 6, 7syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( ( A [,] B )  =  (/) 
<->  B  <  A ) )
98biimpar 471 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  B  <  A )  ->  ( A [,] B )  =  (/) )
109raleqdv 2742 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  B  <  A )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  0  <->  A. y  e.  (/)  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  0 ) )
112, 10mpbiri 224 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  B  <  A )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  0 )
12 breq2 4027 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  <->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  0
) )
1312ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  0 ) )
1413rspcev 2884 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  0 )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x )
151, 11, 14sylancr 644 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  B  <  A )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
163adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
175adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
18 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
19 simp3 957 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
20 abscncf 18405 . . . . . . . 8  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
2120a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  abs  e.  ( CC -cn-> RR ) )
2219, 21cncfco 18411 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( abs  o.  F )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> RR ) )
2322adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  ( abs  o.  F )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
2416, 17, 18, 23evthicc 18819 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F ) `
 y )  <_ 
( ( abs  o.  F ) `  z
)  /\  E. z  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs 
o.  F ) `  z )  <_  (
( abs  o.  F
) `  y )
) )
2524simpld 445 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  E. z  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs 
o.  F ) `  y )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )
)
26 cncff 18397 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  F )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  ( abs  o.  F ) : ( A [,] B ) --> RR )
2722, 26syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( abs  o.  F ) : ( A [,] B ) --> RR )
28 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  F
) : ( A [,] B ) --> RR 
/\  z  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  z )  e.  RR )
2927, 28sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( abs  o.  F
) `  z )  e.  RR )
30 cncff 18397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A [,] B
) --> CC )
3119, 30syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  F :
( A [,] B
) --> CC )
3231adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
33 fvco3 5596 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : ( A [,] B ) --> CC 
/\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  =  ( abs `  ( F `
 y ) ) )
3432, 33sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( abs  o.  F
) `  y )  =  ( abs `  ( F `  y )
) )
3534breq1d 4033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( ( abs  o.  F ) `  y
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z )  <->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )
) )
3635ralbidva 2559 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F
) `  y )  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z
)  <->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z ) ) )
3736biimpd 198 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F
) `  y )  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z
)  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z ) ) )
38 breq2 4027 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( abs 
o.  F ) `  z )  ->  (
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  <->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )
) )
3938ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( abs 
o.  F ) `  z )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z ) ) )
4039rspcev 2884 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs  o.  F ) `  z
)  e.  RR  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  ( ( abs 
o.  F ) `  z ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x )
4129, 37, 40ee12an 1353 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F
) `  y )  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)
4241rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs 
o.  F ) `  y )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )
4342imp 418 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  E. z  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs 
o.  F ) `  y )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
4425, 43syldan 456 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
4515, 44, 5, 3ltlecasei 8928 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   [,]cicc 10659   abscabs 11719   -cn->ccncf 18380
This theorem is referenced by:  cniccibl  19195  c1liplem1  19343  itgsubstlem  19395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382
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