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Theorem cniccbdd 19360
Description: A continuous function on a closed interval is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cniccbdd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem cniccbdd
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9093 . . 3  |-  0  e.  RR
2 ral0 3734 . . . 4  |-  A. y  e.  (/)  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  0
3 simp1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  A  e.  RR )
43rexrd 9136 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  A  e.  RR* )
5 simp2 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  B  e.  RR )
65rexrd 9136 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  B  e.  RR* )
7 icc0 10966 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
84, 6, 7syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( ( A [,] B )  =  (/) 
<->  B  <  A ) )
98biimpar 473 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  B  <  A )  ->  ( A [,] B )  =  (/) )
109raleqdv 2912 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  B  <  A )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  0  <->  A. y  e.  (/)  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  0 ) )
112, 10mpbiri 226 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  B  <  A )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  0 )
12 breq2 4218 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  <->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  0
) )
1312ralbidv 2727 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  0 ) )
1413rspcev 3054 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  0 )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x )
151, 11, 14sylancr 646 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  B  <  A )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
163adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
175adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
18 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
19 simp3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
20 abscncf 18933 . . . . . . . 8  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
2120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  abs  e.  ( CC -cn-> RR ) )
2219, 21cncfco 18939 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( abs  o.  F )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> RR ) )
2322adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  ( abs  o.  F )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
2416, 17, 18, 23evthicc 19358 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F ) `
 y )  <_ 
( ( abs  o.  F ) `  z
)  /\  E. z  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs 
o.  F ) `  z )  <_  (
( abs  o.  F
) `  y )
) )
2524simpld 447 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  E. z  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs 
o.  F ) `  y )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )
)
26 cncff 18925 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  F )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  ( abs  o.  F ) : ( A [,] B ) --> RR )
2722, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( abs  o.  F ) : ( A [,] B ) --> RR )
2827ffvelrnda 5872 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( abs  o.  F
) `  z )  e.  RR )
29 cncff 18925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A [,] B
) --> CC )
3019, 29syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  F :
( A [,] B
) --> CC )
3130adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
32 fvco3 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : ( A [,] B ) --> CC 
/\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  =  ( abs `  ( F `
 y ) ) )
3331, 32sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( abs  o.  F
) `  y )  =  ( abs `  ( F `  y )
) )
3433breq1d 4224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( ( abs  o.  F ) `  y
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z )  <->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )
) )
3534ralbidva 2723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F
) `  y )  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z
)  <->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z ) ) )
3635biimpd 200 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F
) `  y )  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z
)  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z ) ) )
37 breq2 4218 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( abs 
o.  F ) `  z )  ->  (
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  <->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )
) )
3837ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( abs 
o.  F ) `  z )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z ) ) )
3938rspcev 3054 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs  o.  F ) `  z
)  e.  RR  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  ( ( abs 
o.  F ) `  z ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x )
4028, 36, 39ee12an 1373 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F
) `  y )  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)
4140rexlimdva 2832 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs 
o.  F ) `  y )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )
4241imp 420 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  E. z  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs 
o.  F ) `  y )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
4325, 42syldan 458 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
4415, 43, 5, 3ltlecasei 9183 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   (/)c0 3630   class class class wbr 4214    o. ccom 4884   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123   [,]cicc 10921   abscabs 12041   -cn->ccncf 18908
This theorem is referenced by:  cniccibl  19734  c1liplem1  19882  itgsubstlem  19934  cnicciblnc  26278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-cmp 17452  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910
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