MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnima Structured version   Unicode version

Theorem cnima 17321
Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
cnima  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J
)

Proof of Theorem cnima
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2435 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
31, 2iscn2 17294 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
43simprbi 451 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) )
54simprd 450 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J )
6 imaeq2 5191 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " A ) )
76eleq1d 2501 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( `' F "
x )  e.  J  <->  ( `' F " A )  e.  J ) )
87rspccva 3043 . 2  |-  ( ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J )
95, 8sylan 458 1  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   U.cuni 4007   `'ccnv 4869   "cima 4873   -->wf 5442  (class class class)co 6073   Topctop 16950    Cn ccn 17280
This theorem is referenced by:  cnco  17322  cnclima  17324  cnntri  17327  cnss1  17332  cnss2  17333  cncnpi  17334  cnrest  17341  cnt0  17402  cnhaus  17410  cncmp  17447  cnconn  17477  2ndcomap  17513  kgencn3  17582  txcnmpt  17648  txdis1cn  17659  pthaus  17662  ptrescn  17663  txkgen  17676  xkoco2cn  17682  xkococnlem  17683  txcon  17713  imasnopn  17714  qtopkgen  17734  qtopss  17739  isr0  17761  kqreglem1  17765  kqreglem2  17766  kqnrmlem1  17767  kqnrmlem2  17768  hmeoima  17789  hmeoopn  17790  hmeoimaf1o  17794  reghmph  17817  nrmhmph  17818  tmdgsum2  18118  symgtgp  18123  ghmcnp  18136  tgpt0  18140  divstgpopn  18141  divstgplem  18142  nmhmcn  19120  mbfimaopnlem  19539  cncombf  19542  cnmbf  19543  dvloglem  20531  efopnlem2  20540  efopn  20541  atansopn  20764  cnmbfm  24605  cvmsss2  24953  cvmliftmolem2  24961  cvmliftlem15  24977  cvmlift2lem9a  24982  cvmlift2lem9  24990  cvmlift2lem10  24991  cvmlift3lem6  25003  cvmlift3lem8  25005  rfcnpre1  27657  rfcnpre2  27669
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-top 16955  df-topon 16958  df-cn 17283
  Copyright terms: Public domain W3C validator