MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnima Unicode version

Theorem cnima 17010
Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
cnima  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J
)

Proof of Theorem cnima
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2296 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
31, 2iscn2 16984 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
43simprbi 450 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) )
54simprd 449 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J )
6 imaeq2 5024 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " A ) )
76eleq1d 2362 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( `' F "
x )  e.  J  <->  ( `' F " A )  e.  J ) )
87rspccva 2896 . 2  |-  ( ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J )
95, 8sylan 457 1  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   U.cuni 3843   `'ccnv 4704   "cima 4708   -->wf 5267  (class class class)co 5874   Topctop 16647    Cn ccn 16970
This theorem is referenced by:  cnco  17011  cnclima  17013  cnntri  17016  cnss1  17021  cnss2  17022  cncnpi  17023  cnrest  17029  cnt0  17090  cnhaus  17098  cncmp  17135  cnconn  17164  2ndcomap  17200  kgencn3  17269  txcnmpt  17334  txdis1cn  17345  pthaus  17348  ptrescn  17349  txkgen  17362  xkoco2cn  17368  xkococnlem  17369  txcon  17399  qtopkgen  17417  qtopss  17422  isr0  17444  kqreglem1  17448  kqreglem2  17449  kqnrmlem1  17450  kqnrmlem2  17451  hmeoima  17472  hmeoopn  17473  hmeoimaf1o  17477  reghmph  17500  nrmhmph  17501  tmdgsum2  17795  symgtgp  17800  ghmcnp  17813  tgpt0  17817  divstgpopn  17818  divstgplem  17819  nmhmcn  18617  mbfimaopnlem  19026  cncombf  19029  cnmbf  19030  dvloglem  20011  efopnlem2  20020  efopn  20021  atansopn  20244  cnmbfm  23583  cvmsss2  23820  cvmliftmolem2  23828  cvmliftlem15  23844  cvmlift2lem9a  23849  cvmlift2lem9  23857  cvmlift2lem10  23858  cvmlift3lem6  23870  cvmlift3lem8  23872  intopcoaconc  25644  prcnt  25654  rfcnpre1  27793  rfcnpre2  27805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-cn 16973
  Copyright terms: Public domain W3C validator