MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnima Unicode version

Theorem cnima 17252
Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
cnima  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J
)

Proof of Theorem cnima
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2388 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2388 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
31, 2iscn2 17225 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
43simprbi 451 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) )
54simprd 450 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J )
6 imaeq2 5140 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " A ) )
76eleq1d 2454 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( `' F "
x )  e.  J  <->  ( `' F " A )  e.  J ) )
87rspccva 2995 . 2  |-  ( ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J )
95, 8sylan 458 1  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   U.cuni 3958   `'ccnv 4818   "cima 4822   -->wf 5391  (class class class)co 6021   Topctop 16882    Cn ccn 17211
This theorem is referenced by:  cnco  17253  cnclima  17255  cnntri  17258  cnss1  17263  cnss2  17264  cncnpi  17265  cnrest  17272  cnt0  17333  cnhaus  17341  cncmp  17378  cnconn  17407  2ndcomap  17443  kgencn3  17512  txcnmpt  17578  txdis1cn  17589  pthaus  17592  ptrescn  17593  txkgen  17606  xkoco2cn  17612  xkococnlem  17613  txcon  17643  imasnopn  17644  qtopkgen  17664  qtopss  17669  isr0  17691  kqreglem1  17695  kqreglem2  17696  kqnrmlem1  17697  kqnrmlem2  17698  hmeoima  17719  hmeoopn  17720  hmeoimaf1o  17724  reghmph  17747  nrmhmph  17748  tmdgsum2  18048  symgtgp  18053  ghmcnp  18066  tgpt0  18070  divstgpopn  18071  divstgplem  18072  nmhmcn  19000  mbfimaopnlem  19415  cncombf  19418  cnmbf  19419  dvloglem  20407  efopnlem2  20416  efopn  20417  atansopn  20640  cnmbfm  24408  cvmsss2  24741  cvmliftmolem2  24749  cvmliftlem15  24765  cvmlift2lem9a  24770  cvmlift2lem9  24778  cvmlift2lem10  24779  cvmlift3lem6  24791  cvmlift3lem8  24793  rfcnpre1  27359  rfcnpre2  27371
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-map 6957  df-top 16887  df-topon 16890  df-cn 17214
  Copyright terms: Public domain W3C validator