Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnindis Structured version   Unicode version

Theorem cnindis 17361
 Description: Every function is continuous when the codomain is indiscrete (trivial). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnindis TopOn

Proof of Theorem cnindis
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpri 3836 . . . . . . 7
2 topontop 16996 . . . . . . . . . . 11 TopOn
32ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 TopOn
4 0opn 16982 . . . . . . . . . 10
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9 TopOn
6 imaeq2 5202 . . . . . . . . . . 11
7 ima0 5224 . . . . . . . . . . 11
86, 7syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10
98eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
105, 9syl5ibrcom 215 . . . . . . . 8 TopOn
11 fimacnv 5865 . . . . . . . . . . 11
1211adantl 454 . . . . . . . . . 10 TopOn
13 toponmax 16998 . . . . . . . . . . 11 TopOn
1413ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 TopOn
1512, 14eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9 TopOn
16 imaeq2 5202 . . . . . . . . . 10
1716eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
1815, 17syl5ibrcom 215 . . . . . . . 8 TopOn
1910, 18jaod 371 . . . . . . 7 TopOn
201, 19syl5 31 . . . . . 6 TopOn
2120ralrimiv 2790 . . . . 5 TopOn
2221ex 425 . . . 4 TopOn
2322pm4.71d 617 . . 3 TopOn
24 id 21 . . . 4
25 elmapg 7034 . . . 4
2624, 13, 25syl2anr 466 . . 3 TopOn
27 indistopon 17070 . . . 4 TopOn
28 iscn 17304 . . . 4 TopOn TopOn
2927, 28sylan2 462 . . 3 TopOn
3023, 26, 293bitr4rd 279 . 2 TopOn
3130eqrdv 2436 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  c0 3630  cpr 3817  ccnv 4880  cima 4884  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmap 7021  ctop 16963  TopOnctopon 16964   ccn 17293 This theorem is referenced by:  indishmph  17835  indistgp  18135  indispcon  24926 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-map 7023  df-top 16968  df-topon 16971  df-cn 17296
 Copyright terms: Public domain W3C validator