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Theorem cnllycmp 18454
Description: The topology on the complexes is locally compact. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnllycmp.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnllycmp  |-  J  e. 𝑛Locally  Comp

Proof of Theorem cnllycmp
Dummy variables  s 
r  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnllycmp.1 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtop 18293 . 2  |-  J  e. 
Top
3 cnxmet 18282 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
41cnfldtopn 18291 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
54mopni2 18039 . . . . 5  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
63, 5mp3an1 1264 . . . 4  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
72a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  J  e.  Top )
83a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
9 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
109ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  x  C_ 
U. J )
111cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1211toponunii 16670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  =  U. J
1310, 12syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  x  C_  CC )
14 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  x )
1513, 14sseldd 3181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  CC )
16 rphalfcl 10378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
1716ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR+ )
1817rpxrd 10391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR* )
194blopn 18046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  e.  J
)
208, 15, 18, 19syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  e.  J
)
21 blcntr 17964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  (
r  /  2 )  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) )
228, 15, 17, 21syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) )
23 opnneip 16856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) )  e.  J  /\  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) )  ->  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) )  e.  ( ( nei `  J ) `
 { y } ) )
247, 20, 22, 23syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )
25 blssm 17968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  C_  CC )
268, 15, 18, 25syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  C_  CC )
2712sscls 16793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) 
C_  CC )  -> 
( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) ) )
287, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  C_  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )
29 rpxr 10361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
3029ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  r  e.  RR* )
31 rphalflt 10380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  < 
r )
3231ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
r  /  2 )  <  r )
334blsscls 18053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  y  e.  CC )  /\  ( ( r  /  2 )  e. 
RR*  /\  r  e.  RR* 
/\  ( r  / 
2 )  <  r
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
348, 15, 18, 30, 32, 33syl23anc 1189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
35 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
)
3634, 35sstrd 3189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  x
)
3736, 13sstrd 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  CC )
3812ssnei2 16853 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) )  e.  ( ( nei `  J ) `  {
y } ) )  /\  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  C_  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  /\  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  CC ) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )
397, 24, 28, 37, 38syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )
40 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
4140elpw2 4175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ~P x 
<->  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  x
)
4236, 41sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ~P x )
43 elin 3358 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x )  <->  ( (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } )  /\  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ~P x ) )
4439, 42, 43sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) )
4512clscld 16784 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) 
C_  CC )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
467, 26, 45syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
4715abscld 11918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
4817rpred 10390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR )
4947, 48readdcld 8862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR )
50 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) }  =  {
w  e.  CC  | 
( y ( abs 
o.  -  ) w
)  <_  ( r  /  2 ) }
514, 50blcls 18052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) } )
528, 15, 18, 51syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) } )
53 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
5415adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
5553, 54abs2difd 11939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  <_ 
( abs `  (
z  -  y ) ) )
5653abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  z )  e.  RR )
5747adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
5856, 57resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  e.  RR )
5953, 54subcld 9157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
z  -  y )  e.  CC )
6059abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  e.  RR )
6148adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR )
62 letr 8914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  e.  RR  /\  ( r  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  <_ 
( abs `  (
z  -  y ) )  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <_  (
r  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  z )  -  ( abs `  y ) )  <_  ( r  /  2 ) ) )
6358, 60, 61, 62syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( ( ( abs `  z )  -  ( abs `  y ) )  <_  ( abs `  (
z  -  y ) )  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <_  (
r  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  z )  -  ( abs `  y ) )  <_  ( r  /  2 ) ) )
6455, 63mpand 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <_  ( r  /  2 )  -> 
( ( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  <_ 
( r  /  2
) ) )
6553, 54abssubd 11935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( abs `  (
y  -  z ) ) )
66 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
6766cnmetdval 18280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
6815, 67sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
y ( abs  o.  -  ) z )  =  ( abs `  (
y  -  z ) ) )
6965, 68eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( y ( abs 
o.  -  ) z
) )
7069breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <_  ( r  /  2 )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <_  (
r  /  2 ) ) )
7156, 57, 61lesubadd2d 9371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( ( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  <_ 
( r  /  2
)  <->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) ) )
7264, 70, 713imtr3d 258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( y ( abs 
o.  -  ) z
)  <_  ( r  /  2 )  -> 
( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) ) )
7372ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  A. z  e.  CC  ( ( y ( abs  o.  -  ) z )  <_ 
( r  /  2
)  ->  ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) ) ) )
74 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  z  ->  (
y ( abs  o.  -  ) w )  =  ( y ( abs  o.  -  )
z ) )
7574breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  z  ->  (
( y ( abs 
o.  -  ) w
)  <_  ( r  /  2 )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <_  (
r  /  2 ) ) )
7675ralrab 2927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) }  ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) )  <->  A. z  e.  CC  ( ( y ( abs  o.  -  )
z )  <_  (
r  /  2 )  ->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) ) )
7773, 76sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  A. z  e.  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  )
w )  <_  (
r  /  2 ) }  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) )
78 ssralv 3237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) }  ->  ( A. z  e.  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) }  ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) )  ->  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) ) ) )
7952, 77, 78sylc 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) ) )
80 breq2 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  z )  <_ 
s  <->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) ) )
8180ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2 ) )  ->  ( A. z  e.  ( ( cls `  J ) `  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z
)  <_  s  <->  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) ) ) )
8281rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR  /\  A. z  e.  ( ( cls `  J ) `  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) )  ->  E. s  e.  RR  A. z  e.  ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  s
)
8349, 79, 82syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  E. s  e.  RR  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  s
)
84 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  =  ( Jt  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) ) )
851, 84cnheibor 18453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  CC  ->  ( ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  e. 
Comp 
<->  ( ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  E. s  e.  RR  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  s
) ) )
8637, 85syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( Jt  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) ) )  e.  Comp  <->  ( ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  (
Clsd `  J )  /\  E. s  e.  RR  A. z  e.  ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  s
) ) )
8746, 83, 86mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  e. 
Comp )
88 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) )  -> 
( Jt  u )  =  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ) )
8988eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) )  -> 
( ( Jt  u )  e.  Comp  <->  ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  e. 
Comp ) )
9089rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x )  /\  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  e. 
Comp )  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp )
9144, 87, 90syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp )
9291expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp )
)
9392rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  ( E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp ) )
946, 93mpd 14 . . 3  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp )
9594rgen2 2639 . 2  |-  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp
96 isnlly 17195 . 2  |-  ( J  e. 𝑛Locally 
Comp 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  (
( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp )
)
972, 95, 96mpbir2an 886 1  |-  J  e. 𝑛Locally  Comp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    o. ccom 4693   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736    + caddc 8740   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   abscabs 11719   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631   Clsdccld 16753   clsccl 16755   neicnei 16834   Compccmp 17113  𝑛Locally cnlly 17191
This theorem is referenced by:  rellycmp  18455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-cls 16758  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-nlly 17193  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382
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