Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnllyscon Unicode version

Theorem cnllyscon 23791
Description: The topology of the complex numbers is locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnllyscon.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnllyscon  |-  J  e. Locally SCon

Proof of Theorem cnllyscon
Dummy variables  u  r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnllyscon.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtop 18309 . 2  |-  J  e. 
Top
3 cnxmet 18298 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
41cnfldtopn 18307 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
54mopni2 18055 . . . . 5  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
63, 5mp3an1 1264 . . . 4  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
73a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
81cnfldtopon 18308 . . . . . . . . . . 11  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
9 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  x  e.  J )
10 toponss 16683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  x  e.  J )  ->  x  C_  CC )
118, 9, 10sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  x  C_  CC )
12 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  x )
1311, 12sseldd 3194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  CC )
14 rpxr 10377 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
1514ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  r  e.  RR* )
164blopn 18062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J
)
177, 13, 15, 16syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J
)
18 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
)
19 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2019elpw2 4191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ~P x 
<->  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
2118, 20sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ~P x )
22 elin 3371 . . . . . . . 8  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ( J  i^i  ~P x
)  <->  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ~P x ) )
2317, 21, 22sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ( J  i^i  ~P x
) )
24 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  r  e.  RR+ )
25 blcntr 17980 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
267, 13, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
27 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  =  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )
28 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  =  ( Jt  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )
291, 27, 28blscon 23790 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  -> 
( Jt  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  e. SCon )
3013, 15, 29syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e. SCon )
31 eleq2 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  ( y  e.  u  <->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
32 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  ( Jt  u
)  =  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
3332eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  ( ( Jt  u )  e. SCon  <->  ( Jt  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e. SCon
) )
3431, 33anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  ( (
y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon )  <->  ( y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  /\  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e. SCon ) ) )
3534rspcev 2897 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ( J  i^i  ~P x )  /\  (
y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  /\  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e. SCon ) )  ->  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x
) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon ) )
3623, 26, 30, 35syl12anc 1180 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon )
)
3736expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x  ->  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x
) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon ) ) )
3837rexlimdva 2680 . . . 4  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  ( E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x  ->  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon )
) )
396, 38mpd 14 . . 3  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x
) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon ) )
4039rgen2 2652 . 2  |-  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon )
41 islly 17210 . 2  |-  ( J  e. Locally SCon 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon )
) )
422, 40, 41mpbir2an 886 1  |-  J  e. Locally SCon
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638    o. ccom 4709   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RR*cxr 8882    - cmin 9053   RR+crp 10370   abscabs 11735   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342   * Metcxmt 16385   ballcbl 16387  ℂfldccnfld 16393   Topctop 16647  TopOnctopon 16648  Locally clly 17206  SConcscon 23766
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-lly 17208  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-ii 18397  df-htpy 18484  df-phtpy 18485  df-phtpc 18506  df-pcon 23767  df-scon 23768
  Copyright terms: Public domain W3C validator