Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnllyscon Structured version   Unicode version

Theorem cnllyscon 24924
Description: The topology of the complex numbers is locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnllyscon.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnllyscon  |-  J  e. Locally SCon

Proof of Theorem cnllyscon
Dummy variables  u  r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnllyscon.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtop 18810 . 2  |-  J  e. 
Top
3 cnxmet 18799 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
41cnfldtopn 18808 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
54mopni2 18515 . . . . 5  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
63, 5mp3an1 1266 . . . 4  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
73a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
81cnfldtopon 18809 . . . . . . . . 9  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
9 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  x  e.  J )
10 toponss 16986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  x  e.  J )  ->  x  C_  CC )
118, 9, 10sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  x  C_  CC )
12 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  x )
1311, 12sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  CC )
14 rpxr 10611 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
1514ad2antrl 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  r  e.  RR* )
164blopn 18522 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J
)
177, 13, 15, 16syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J
)
18 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
)
19 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
2019elpw2 4356 . . . . . . 7  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ~P x 
<->  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
2118, 20sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ~P x )
22 elin 3522 . . . . . 6  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ( J  i^i  ~P x
)  <->  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ~P x ) )
2317, 21, 22sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ( J  i^i  ~P x
) )
24 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  r  e.  RR+ )
25 blcntr 18435 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
267, 13, 24, 25syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
27 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  =  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )
28 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  =  ( Jt  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )
291, 27, 28blscon 24923 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  -> 
( Jt  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  e. SCon )
3013, 15, 29syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e. SCon )
31 eleq2 2496 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  ( y  e.  u  <->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
32 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  ( Jt  u
)  =  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
3332eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  ( ( Jt  u )  e. SCon  <->  ( Jt  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e. SCon
) )
3431, 33anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  ( (
y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon )  <->  ( y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  /\  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e. SCon ) ) )
3534rspcev 3044 . . . . 5  |-  ( ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ( J  i^i  ~P x )  /\  (
y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  /\  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e. SCon ) )  ->  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x
) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon ) )
3623, 26, 30, 35syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon )
)
376, 36rexlimddv 2826 . . 3  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x
) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon ) )
3837rgen2 2794 . 2  |-  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon )
39 islly 17523 . 2  |-  ( J  e. Locally SCon 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon )
) )
402, 38, 39mpbir2an 887 1  |-  J  e. Locally SCon
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791    o. ccom 4874   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RR*cxr 9111    - cmin 9283   RR+crp 10604   abscabs 12031   ↾t crest 13640   TopOpenctopn 13641   * Metcxmt 16678   ballcbl 16680  ℂfldccnfld 16695   Topctop 16950  TopOnctopon 16951  Locally clly 17519  SConcscon 24899
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-lly 17521  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-ii 18899  df-htpy 18987  df-phtpy 18988  df-phtpc 19009  df-pcon 24900  df-scon 24901
  Copyright terms: Public domain W3C validator