Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnllyscon Unicode version

Theorem cnllyscon 23776
Description: The topology of the complex numbers is locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnllyscon.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnllyscon  |-  J  e. Locally SCon

Proof of Theorem cnllyscon
Dummy variables  u  r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnllyscon.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtop 18293 . 2  |-  J  e. 
Top
3 cnxmet 18282 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
41cnfldtopn 18291 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
54mopni2 18039 . . . . 5  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
63, 5mp3an1 1264 . . . 4  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
73a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
81cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . . 11  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
9 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  x  e.  J )
10 toponss 16667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  x  e.  J )  ->  x  C_  CC )
118, 9, 10sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  x  C_  CC )
12 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  x )
1311, 12sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  CC )
14 rpxr 10361 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
1514ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  r  e.  RR* )
164blopn 18046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J
)
177, 13, 15, 16syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J
)
18 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
)
19 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2019elpw2 4175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ~P x 
<->  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
2118, 20sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ~P x )
22 elin 3358 . . . . . . . 8  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ( J  i^i  ~P x
)  <->  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ~P x ) )
2317, 21, 22sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ( J  i^i  ~P x
) )
24 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  r  e.  RR+ )
25 blcntr 17964 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
267, 13, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
27 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  =  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )
28 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  =  ( Jt  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )
291, 27, 28blscon 23775 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  -> 
( Jt  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  e. SCon )
3013, 15, 29syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e. SCon )
31 eleq2 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  ( y  e.  u  <->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
32 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  ( Jt  u
)  =  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
3332eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  ( ( Jt  u )  e. SCon  <->  ( Jt  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e. SCon
) )
3431, 33anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  ( (
y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon )  <->  ( y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  /\  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e. SCon ) ) )
3534rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ( J  i^i  ~P x )  /\  (
y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  /\  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e. SCon ) )  ->  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x
) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon ) )
3623, 26, 30, 35syl12anc 1180 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon )
)
3736expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x  ->  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x
) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon ) ) )
3837rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  ( E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x  ->  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon )
) )
396, 38mpd 14 . . 3  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x
) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon ) )
4039rgen2 2639 . 2  |-  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon )
41 islly 17194 . 2  |-  ( J  e. Locally SCon 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon )
) )
422, 40, 41mpbir2an 886 1  |-  J  e. Locally SCon
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625    o. ccom 4693   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RR*cxr 8866    - cmin 9037   RR+crp 10354   abscabs 11719   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631  TopOnctopon 16632  Locally clly 17190  SConcscon 23751
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-lly 17192  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-ii 18381  df-htpy 18468  df-phtpy 18469  df-phtpc 18490  df-pcon 23752  df-scon 23753
  Copyright terms: Public domain W3C validator