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Theorem cnlnadjlem2 23563
Description: Lemma for cnlnadji 23571. 
G is a continuous linear functional. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1  |-  T  e. 
LinOp
cnlnadjlem.2  |-  T  e. 
ConOp
cnlnadjlem.3  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem2  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( G  e.  LinFn  /\  G  e.  ConFn ) )
Distinct variable group:    y, g, T
Allowed substitution hints:    G( y, g)

Proof of Theorem cnlnadjlem2
Dummy variables  w  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadjlem.1 . . . . . . . 8  |-  T  e. 
LinOp
21lnopfi 23464 . . . . . . 7  |-  T : ~H
--> ~H
32ffvelrni 5861 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ~H  ->  ( T `  g )  e.  ~H )
4 hicl 22574 . . . . . 6  |-  ( ( ( T `  g
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  g )  .ih  y
)  e.  CC )
53, 4sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( g  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  g )  .ih  y
)  e.  CC )
65ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  g  e.  ~H )  ->  ( ( T `  g )  .ih  y
)  e.  CC )
7 cnlnadjlem.3 . . . 4  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
86, 7fmptd 5885 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  G : ~H --> CC )
9 hvmulcl 22508 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  .h  w
)  e.  ~H )
101lnopaddi 23466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  w
)  +h  z ) )  =  ( ( T `  ( x  .h  w ) )  +h  ( T `  z ) ) )
11103adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  ( (
x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( T `
 ( x  .h  w ) )  +h  ( T `  z
) ) )
1211oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T `  (
( x  .h  w
)  +h  z ) )  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w ) )  +h  ( T `  z ) )  .ih  y ) )
132ffvelrni 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  .h  w )  e.  ~H  ->  ( T `  ( x  .h  w ) )  e. 
~H )
142ffvelrni 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
15 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  y  e.  ~H )
16 ax-his2 22577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T `  (
x  .h  w ) )  e.  ~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( T `  ( x  .h  w
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w ) ) 
.ih  y )  +  ( ( T `  z )  .ih  y
) ) )
1713, 14, 15, 16syl3an 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( T `  ( x  .h  w
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w ) ) 
.ih  y )  +  ( ( T `  z )  .ih  y
) ) )
1812, 17eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T `  (
( x  .h  w
)  +h  z ) )  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w ) ) 
.ih  y )  +  ( ( T `  z )  .ih  y
) ) )
19183comr 1161 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `  ( ( x  .h  w )  +h  z
) )  .ih  y
)  =  ( ( ( T `  (
x  .h  w ) )  .ih  y )  +  ( ( T `
 z )  .ih  y ) ) )
20193expa 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  .h  w
)  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w
) )  .ih  y
)  +  ( ( T `  z ) 
.ih  y ) ) )
219, 20sylanl2 633 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `  ( ( x  .h  w )  +h  z ) ) 
.ih  y )  =  ( ( ( T `
 ( x  .h  w ) )  .ih  y )  +  ( ( T `  z
)  .ih  y )
) )
22 hvaddcl 22507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  w )  +h  z
)  e.  ~H )
239, 22sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  w )  +h  z )  e.  ~H )
24 cnlnadjlem.2 . . . . . . . . 9  |-  T  e. 
ConOp
251, 24, 7cnlnadjlem1 23562 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  w
)  +h  z )  e.  ~H  ->  ( G `  ( (
x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( T `
 ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  .ih  y ) )
2623, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( G `  ( ( x  .h  w )  +h  z
) )  =  ( ( T `  (
( x  .h  w
)  +h  z ) )  .ih  y ) )
2726adantll 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( G `
 ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( T `  ( ( x  .h  w )  +h  z
) )  .ih  y
) )
282ffvelrni 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
29 ax-his3 22578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  w )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( x  .h  ( T `  w )
)  .ih  y )  =  ( x  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) ) )
3028, 29syl3an2 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( x  .h  ( T `  w )
)  .ih  y )  =  ( x  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) ) )
31303comr 1161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( x  .h  ( T `  w )
)  .ih  y )  =  ( x  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) ) )
32313expb 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  .h  ( T `
 w ) ) 
.ih  y )  =  ( x  x.  (
( T `  w
)  .ih  y )
) )
331lnopmuli 23467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  .h  w ) )  =  ( x  .h  ( T `  w ) ) )
3433oveq1d 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `  ( x  .h  w
) )  .ih  y
)  =  ( ( x  .h  ( T `
 w ) ) 
.ih  y ) )
3534adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  ( x  .h  w ) )  .ih  y )  =  ( ( x  .h  ( T `  w )
)  .ih  y )
)
361, 24, 7cnlnadjlem1 23562 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( G `  w )  =  ( ( T `
 w )  .ih  y ) )
3736oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
x  x.  ( G `
 w ) )  =  ( x  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) ) )
3837ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( x  x.  ( G `  w
) )  =  ( x  x.  ( ( T `  w ) 
.ih  y ) ) )
3932, 35, 383eqtr4rd 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( x  x.  ( G `  w
) )  =  ( ( T `  (
x  .h  w ) )  .ih  y ) )
401, 24, 7cnlnadjlem1 23562 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( G `  z )  =  ( ( T `
 z )  .ih  y ) )
4139, 40oveqan12d 6092 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( G `
 w ) )  +  ( G `  z ) )  =  ( ( ( T `
 ( x  .h  w ) )  .ih  y )  +  ( ( T `  z
)  .ih  y )
) )
4221, 27, 413eqtr4d 2477 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( G `
 ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( G `  w
) )  +  ( G `  z ) ) )
4342ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  A. z  e.  ~H  ( G `  ( ( x  .h  w )  +h  z
) )  =  ( ( x  x.  ( G `  w )
)  +  ( G `
 z ) ) )
4443ralrimivva 2790 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  A. x  e.  CC  A. w  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( G `  ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( G `  w ) )  +  ( G `  z
) ) )
45 ellnfn 23378 . . 3  |-  ( G  e.  LinFn 
<->  ( G : ~H --> CC  /\  A. x  e.  CC  A. w  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( G `  ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( G `  w ) )  +  ( G `  z
) ) ) )
468, 44, 45sylanbrc 646 . 2  |-  ( y  e.  ~H  ->  G  e.  LinFn )
471, 24nmcopexi 23522 . . . . 5  |-  ( normop `  T )  e.  RR
48 normcl 22619 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
49 remulcl 9067 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
5047, 48, 49sylancr 645 . . . 4  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  e.  RR )
5140adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( G `  z
)  =  ( ( T `  z ) 
.ih  y ) )
52 hicl 22574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T `  z
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  z )  .ih  y
)  e.  CC )
5314, 52sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  z )  .ih  y
)  e.  CC )
5451, 53eqeltrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( G `  z
)  e.  CC )
5554abscld 12230 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR )
56 normcl 22619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  z )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  e.  RR )
5714, 56syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  e.  RR )
58 remulcl 9067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normh `  ( T `  z ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  ( ( normh `  ( T `  z
) )  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
5957, 48, 58syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  ( T `  z )
)  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
60 normcl 22619 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( normh `  z )  e.  RR )
61 remulcl 9067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normh `  z )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  z ) )  e.  RR )
6247, 60, 61sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  e.  RR )
63 remulcl 9067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
6462, 48, 63syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  z ) )  x.  ( normh `  y
) )  e.  RR )
6551fveq2d 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  =  ( abs `  ( ( T `  z )  .ih  y
) ) )
66 bcs 22675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T `  z
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
( T `  z
)  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  ( T `  z ) )  x.  ( normh `  y )
) )
6714, 66sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
( T `  z
)  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  ( T `  z ) )  x.  ( normh `  y )
) )
6865, 67eqbrtrd 4224 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( ( normh `  ( T `  z ) )  x.  ( normh `  y )
) )
6957adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  e.  RR )
7062adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) )  e.  RR )
71 normge0 22620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  y )
)
7248, 71jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  y )
) )
7372adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  y
)  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  y
) ) )
741, 24nmcoplbi 23523 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) ) )
7574adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) ) )
76 lemul1a 9856 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  z )
)  e.  RR  /\  ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) )  e.  RR  /\  ( (
normh `  y )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  y )
) )  /\  ( normh `  ( T `  z ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) ) )  ->  ( ( normh `  ( T `  z
) )  x.  ( normh `  y ) )  <_  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  x.  ( normh `  y ) ) )
7769, 70, 73, 75, 76syl31anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  ( T `  z )
)  x.  ( normh `  y ) )  <_ 
( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  z ) )  x.  ( normh `  y
) ) )
7855, 59, 64, 68, 77letrd 9219 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  x.  ( normh `  y ) ) )
7960recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( normh `  z )  e.  CC )
8048recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  CC )
8147recni 9094 . . . . . . . . 9  |-  ( normop `  T )  e.  CC
82 mul32 9225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( normh `  z )  e.  CC  /\  ( normh `  y )  e.  CC )  ->  (
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) )  x.  ( normh `  y )
)  =  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
8381, 82mp3an1 1266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normh `  z )  e.  CC  /\  ( normh `  y )  e.  CC )  ->  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  x.  ( normh `  y ) )  =  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  x.  ( normh `  z
) ) )
8479, 80, 83syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  z ) )  x.  ( normh `  y
) )  =  ( ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  y ) )  x.  ( normh `  z )
) )
8578, 84breqtrd 4228 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
8685ancoms 440 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
8786ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( y  e.  ~H  ->  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
88 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  ->  ( x  x.  ( normh `  z )
)  =  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
8988breq2d 4216 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  z ) )  <->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  (
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  y ) )  x.  ( normh `  z )
) ) )
9089ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  ->  ( A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  z )
)  <->  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) ) )
9190rspcev 3044 . . . 4  |-  ( ( ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR  /\  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  z ) ) )
9250, 87, 91syl2anc 643 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  E. x  e.  RR  A. z  e. 
~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  z )
) )
93 lnfncon 23551 . . . 4  |-  ( G  e.  LinFn  ->  ( G  e.  ConFn 
<->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  z ) ) ) )
9446, 93syl 16 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( G  e.  ConFn  <->  E. x  e.  RR  A. z  e. 
~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  z )
) ) )
9592, 94mpbird 224 . 2  |-  ( y  e.  ~H  ->  G  e.  ConFn )
9646, 95jca 519 1  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( G  e.  LinFn  /\  G  e.  ConFn ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982    + caddc 8985    x. cmul 8987    <_ cle 9113   abscabs 12031   ~Hchil 22414    +h cva 22415    .h csm 22416    .ih csp 22417   normhcno 22418   normopcnop 22440   ConOpccop 22441   LinOpclo 22442   ConFnccnfn 22448   LinFnclf 22449
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem3  23564  cnlnadjlem5  23566
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062  ax-hilex 22494  ax-hfvadd 22495  ax-hvcom 22496  ax-hvass 22497  ax-hv0cl 22498  ax-hvaddid 22499  ax-hfvmul 22500  ax-hvmulid 22501  ax-hvmulass 22502  ax-hvdistr1 22503  ax-hvdistr2 22504  ax-hvmul0 22505  ax-hfi 22573  ax-his1 22576  ax-his2 22577  ax-his3 22578  ax-his4 22579
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-t1 17370  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-grpo 21771  df-gid 21772  df-ginv 21773  df-gdiv 21774  df-ablo 21862  df-vc 22017  df-nv 22063  df-va 22066  df-ba 22067  df-sm 22068  df-0v 22069  df-vs 22070  df-nmcv 22071  df-ims 22072  df-dip 22189  df-ph 22306  df-hnorm 22463  df-hba 22464  df-hvsub 22466  df-nmop 23334  df-cnop 23335  df-lnop 23336  df-nmfn 23340  df-cnfn 23342  df-lnfn 23343
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