HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadjlem5 Structured version   Unicode version

Theorem cnlnadjlem5 23574
Description: Lemma for cnlnadji 23579. 
F is an adjoint of  T (later, we will show it is unique). (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1  |-  T  e. 
LinOp
cnlnadjlem.2  |-  T  e. 
ConOp
cnlnadjlem.3  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
cnlnadjlem.4  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )
cnlnadjlem.5  |-  F  =  ( y  e.  ~H  |->  B )
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( T `  C )  .ih  A
)  =  ( C 
.ih  ( F `  A ) ) )
Distinct variable groups:    v, g, w, y, A    w, F    T, g, v, w, y   
v, G, w
Allowed substitution hints:    B( y, w, v, g)    C( y, w, v, g)    F( y, v, g)    G( y, g)

Proof of Theorem cnlnadjlem5
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2572 . . 3  |-  F/_ y A
2 nfcv 2572 . . . 4  |-  F/_ y ~H
3 nfcv 2572 . . . . . 6  |-  F/_ y
f
4 nfcv 2572 . . . . . 6  |-  F/_ y  .ih
5 cnlnadjlem.5 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( y  e.  ~H  |->  B )
6 nfmpt1 4298 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( y  e.  ~H  |->  B )
75, 6nfcxfr 2569 . . . . . . 7  |-  F/_ y F
87, 1nffv 5735 . . . . . 6  |-  F/_ y
( F `  A
)
93, 4, 8nfov 6104 . . . . 5  |-  F/_ y
( f  .ih  ( F `  A )
)
109nfeq2 2583 . . . 4  |-  F/ y ( ( T `  f )  .ih  A
)  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) )
112, 10nfral 2759 . . 3  |-  F/ y A. f  e.  ~H  ( ( T `  f )  .ih  A
)  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) )
12 oveq2 6089 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( T `  f
)  .ih  y )  =  ( ( T `
 f )  .ih  A ) )
13 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( F `  y )  =  ( F `  A ) )
1413oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
f  .ih  ( F `  y ) )  =  ( f  .ih  ( F `  A )
) )
1512, 14eqeq12d 2450 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( T `  f )  .ih  y
)  =  ( f 
.ih  ( F `  y ) )  <->  ( ( T `  f )  .ih  A )  =  ( f  .ih  ( F `
 A ) ) ) )
1615ralbidv 2725 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  ( A. f  e.  ~H  ( ( T `  f )  .ih  y
)  =  ( f 
.ih  ( F `  y ) )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  A )  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) ) ) )
17 cnlnadjlem.4 . . . . . . 7  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )
18 riotaex 6553 . . . . . . 7  |-  ( iota_ w  e.  ~H A. v  e.  ~H  ( ( T `
 v )  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )  e.  _V
1917, 18eqeltri 2506 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
205fvmpt2 5812 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  B  e.  _V )  ->  ( F `  y
)  =  B )
2119, 20mpan2 653 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( F `  y )  =  B )
22 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  f  ->  ( T `  v )  =  ( T `  f ) )
2322oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  f  ->  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( ( T `
 f )  .ih  y ) )
24 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  f  ->  (
v  .ih  w )  =  ( f  .ih  w ) )
2523, 24eqeq12d 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  f  ->  (
( ( T `  v )  .ih  y
)  =  ( v 
.ih  w )  <->  ( ( T `  f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) ) )
2625cbvralv 2932 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) )
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( A. v  e.  ~H  ( ( T `  v )  .ih  y
)  =  ( v 
.ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) ) )
28 cnlnadjlem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  e. 
LinOp
29 cnlnadjlem.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  e. 
ConOp
30 cnlnadjlem.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
3128, 29, 30cnlnadjlem1 23570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ~H  ->  ( G `  f )  =  ( ( T `
 f )  .ih  y ) )
3231eqeq1d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ~H  ->  (
( G `  f
)  =  ( f 
.ih  w )  <->  ( ( T `  f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) ) )
3332ralbiia 2737 . . . . . . . . 9  |-  ( A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) )
3427, 33syl6bbr 255 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( A. v  e.  ~H  ( ( T `  v )  .ih  y
)  =  ( v 
.ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) ) )
3534riotabiia 6567 . . . . . . 7  |-  ( iota_ w  e.  ~H A. v  e.  ~H  ( ( T `
 v )  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )  =  ( iota_ w  e.  ~H A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )
3617, 35eqtri 2456 . . . . . 6  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )
3728, 29, 30cnlnadjlem2 23571 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( G  e.  LinFn  /\  G  e.  ConFn ) )
38 elin 3530 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  <-> 
( G  e.  LinFn  /\  G  e.  ConFn ) )
3937, 38sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  G  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) )
40 riesz4 23567 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  E! w  e. 
~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )
41 riotacl2 6563 . . . . . . 7  |-  ( E! w  e.  ~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w )  ->  ( iota_ w  e.  ~H A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )  e. 
{ w  e.  ~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) } )
4239, 40, 413syl 19 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( iota_ w  e.  ~H A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )  e. 
{ w  e.  ~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) } )
4336, 42syl5eqel 2520 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~H  ->  B  e.  { w  e.  ~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) } )
4421, 43eqeltrd 2510 . . . 4  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( F `  y )  e.  { w  e.  ~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) } )
45 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  (
f  .ih  w )  =  ( f  .ih  ( F `  y ) ) )
4645eqeq2d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  (
( ( T `  f )  .ih  y
)  =  ( f 
.ih  w )  <->  ( ( T `  f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) ) )
4746ralbidv 2725 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  ( A. f  e.  ~H  ( ( T `  f )  .ih  y
)  =  ( f 
.ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) ) )
4833, 47syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  ( A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) ) )
4948elrab 3092 . . . . 5  |-  ( ( F `  y )  e.  { w  e. 
~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) }  <->  ( ( F `
 y )  e. 
~H  /\  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) ) )
5049simprbi 451 . . . 4  |-  ( ( F `  y )  e.  { w  e. 
~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) }  ->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) )
5144, 50syl 16 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) )
521, 11, 16, 51vtoclgaf 3016 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  A )  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) ) )
53 fveq2 5728 . . . . 5  |-  ( f  =  C  ->  ( T `  f )  =  ( T `  C ) )
5453oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( f  =  C  ->  (
( T `  f
)  .ih  A )  =  ( ( T `
 C )  .ih  A ) )
55 oveq1 6088 . . . 4  |-  ( f  =  C  ->  (
f  .ih  ( F `  A ) )  =  ( C  .ih  ( F `  A )
) )
5654, 55eqeq12d 2450 . . 3  |-  ( f  =  C  ->  (
( ( T `  f )  .ih  A
)  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) )  <->  ( ( T `  C )  .ih  A )  =  ( C  .ih  ( F `
 A ) ) ) )
5756rspccva 3051 . 2  |-  ( ( A. f  e.  ~H  ( ( T `  f )  .ih  A
)  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) )  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( T `  C )  .ih  A
)  =  ( C 
.ih  ( F `  A ) ) )
5852, 57sylan 458 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( T `  C )  .ih  A
)  =  ( C 
.ih  ( F `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E!wreu 2707   {crab 2709   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   iota_crio 6542   ~Hchil 22422    .ih csp 22425   ConOpccop 22449   LinOpclo 22450   ConFnccnfn 22456   LinFnclf 22457
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem6  23575  cnlnadjlem7  23576  cnlnadjlem9  23578
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070  ax-hilex 22502  ax-hfvadd 22503  ax-hvcom 22504  ax-hvass 22505  ax-hv0cl 22506  ax-hvaddid 22507  ax-hfvmul 22508  ax-hvmulid 22509  ax-hvmulass 22510  ax-hvdistr1 22511  ax-hvdistr2 22512  ax-hvmul0 22513  ax-hfi 22581  ax-his1 22584  ax-his2 22585  ax-his3 22586  ax-his4 22587  ax-hcompl 22704
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-lm 17293  df-t1 17378  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cfil 19208  df-cau 19209  df-cmet 19210  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870  df-subgo 21890  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-vs 22078  df-nmcv 22079  df-ims 22080  df-dip 22197  df-ssp 22221  df-ph 22314  df-cbn 22365  df-hnorm 22471  df-hba 22472  df-hvsub 22474  df-hlim 22475  df-hcau 22476  df-sh 22709  df-ch 22724  df-oc 22754  df-ch0 22755  df-nmop 23342  df-cnop 23343  df-lnop 23344  df-nmfn 23348  df-nlfn 23349  df-cnfn 23350  df-lnfn 23351
  Copyright terms: Public domain W3C validator