MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmbf Structured version   Unicode version

Theorem cnmbf 19551
Description: A continuous function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnmbf  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )  ->  F  e. MblFn )

Proof of Theorem cnmbf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncff 18923 . . 3  |-  ( F  e.  ( A -cn-> CC )  ->  F : A
--> CC )
2 mblss 19427 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
3 cnex 9071 . . . 4  |-  CC  e.  _V
4 reex 9081 . . . 4  |-  RR  e.  _V
5 elpm2r 7034 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
63, 4, 5mpanl12 664 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
RR ) )
71, 2, 6syl2anr 465 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
RR ) )
8 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  A  e.  dom  vol )
9 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )
10 recncf 18932 . . . . . . . . 9  |-  Re  e.  ( CC -cn-> RR )
1110a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  Re  e.  ( CC
-cn-> RR ) )
129, 11cncfco 18937 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( Re  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> RR ) )
132ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  A  C_  RR )
14 ax-resscn 9047 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
1513, 14syl6ss 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  A  C_  CC )
16 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
17 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  A )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  A )
1816tgioo2 18834 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
1916, 17, 18cncfcn 18939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( A -cn-> RR )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  A )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
2015, 14, 19sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( A -cn-> RR )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  A )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
21 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
2216, 21rerest 18835 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  A )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
2313, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  A )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
2423oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  A
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  =  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
2520, 24eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( A -cn-> RR )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
2612, 25eleqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( Re  o.  F
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
27 retopbas 18794 . . . . . . . 8  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
28 bastg 17031 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
2927, 28ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
30 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  x  e.  ran  (,) )
3129, 30sseldi 3346 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
32 cnima 17329 . . . . . 6  |-  ( ( ( Re  o.  F
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
3326, 31, 32syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
34 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)
3534subopnmbl 19496 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol )
368, 33, 35syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol )
37 imcncf 18933 . . . . . . . . 9  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
3837a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  Im  e.  ( CC
-cn-> RR ) )
399, 38cncfco 18937 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( Im  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> RR ) )
4039, 25eleqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( Im  o.  F
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
41 cnima 17329 . . . . . 6  |-  ( ( ( Im  o.  F
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
4240, 31, 41syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
4334subopnmbl 19496 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  ( `' ( Im  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol )
448, 42, 43syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol )
4536, 44jca 519 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
)
4645ralrimiva 2789 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )  ->  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
)
47 ismbf1 19518 . 2  |-  ( F  e. MblFn 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) )
487, 46, 47sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ran crn 4879   "cima 4881    o. ccom 4882   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ^pm cpm 7019   CCcc 8988   RRcr 8989   (,)cioo 10916   Recre 11902   Imcim 11903   ↾t crest 13648   TopOpenctopn 13649   topGenctg 13665  ℂfldccnfld 16703   TopBasesctb 16962    Cn ccn 17288   -cn->ccncf 18906   volcvol 19360  MblFncmbf 19506
This theorem is referenced by:  cniccibl  19732  cnicciblnc  26276  ftc1cnnclem  26278  ftc2nc  26289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-cmp 17450  df-xms 18350  df-ms 18351  df-cncf 18908  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512
  Copyright terms: Public domain W3C validator