Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnmbfm Structured version   Unicode version

Theorem cnmbfm 24615
Description: A continuous function is measurable with respect to the Borel Algebra of its domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmbfm.1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
cnmbfm.2  |-  ( ph  ->  S  =  (sigaGen `  J
) )
cnmbfm.3  |-  ( ph  ->  T  =  (sigaGen `  K
) )
Assertion
Ref Expression
cnmbfm  |-  ( ph  ->  F  e.  ( SMblFnM
T ) )

Proof of Theorem cnmbfm
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmbfm.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
2 eqid 2438 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
3 eqid 2438 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
42, 3cnf 17312 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
51, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F : U. J --> U. K )
6 cnmbfm.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =  (sigaGen `  J
) )
76unieqd 4028 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. S  =  U. (sigaGen `  J ) )
8 cntop1 17306 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
9 unisg 24528 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  U. (sigaGen `  J )  =  U. J )
101, 8, 93syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. (sigaGen `  J
)  =  U. J
)
117, 10eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. S  =  U. J )
12 cnmbfm.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  =  (sigaGen `  K
) )
1312unieqd 4028 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. T  =  U. (sigaGen `  K ) )
14 cntop2 17307 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
15 unisg 24528 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  ->  U. (sigaGen `  K )  =  U. K )
161, 14, 153syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. (sigaGen `  K
)  =  U. K
)
1713, 16eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. T  =  U. K )
1811, 17feq23d 5590 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F : U. S
--> U. T  <->  F : U. J --> U. K ) )
195, 18mpbird 225 . 2  |-  ( ph  ->  F : U. S --> U. T )
20 sssigagen 24530 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (sigaGen `  J )
)
211, 8, 203syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  C_  (sigaGen `  J
) )
2221, 6sseqtr4d 3387 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  C_  S )
2322adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  K )  ->  J  C_  S )
24 cnima 17331 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  a  e.  K )  ->  ( `' F "
a )  e.  J
)
251, 24sylan 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  K )  ->  ( `' F " a )  e.  J )
2623, 25sseldd 3351 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  K )  ->  ( `' F " a )  e.  S )
2726ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S )
28 elex 2966 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  ->  K  e.  _V )
291, 14, 283syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
30 sigagensiga 24526 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (sigaGen `  J )  e.  (sigAlgebra ` 
U. J ) )
311, 8, 303syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (sigaGen `  J )  e.  (sigAlgebra `  U. J ) )
326, 31eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  (sigAlgebra `  U. J ) )
33 elrnsiga 24511 . . . 4  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  U. J )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3432, 33syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3529, 34, 12imambfm 24614 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) ) )
3619, 27, 35mpbir2and 890 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( SMblFnM
T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   U.cuni 4017   `'ccnv 4879   ran crn 4881   "cima 4883   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Topctop 16960    Cn ccn 17290  sigAlgebracsiga 24492  sigaGencsigagen 24523  MblFnMcmbfm 24602
This theorem is referenced by:  sxbrsiga  24642  rrvadd  24712  rrvmulc  24713
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-ac2 8345
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-ac 7999  df-cda 8050  df-top 16965  df-topon 16968  df-cn 17293  df-siga 24493  df-sigagen 24524  df-mbfm 24603
  Copyright terms: Public domain W3C validator