Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnmbfm Structured version   Unicode version

Theorem cnmbfm 24615
 Description: A continuous function is measurable with respect to the Borel Algebra of its domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmbfm.1
cnmbfm.2 sigaGen
cnmbfm.3 sigaGen
Assertion
Ref Expression
cnmbfm MblFnM

Proof of Theorem cnmbfm
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmbfm.1 . . . 4
2 eqid 2438 . . . . 5
3 eqid 2438 . . . . 5
42, 3cnf 17312 . . . 4
51, 4syl 16 . . 3
6 cnmbfm.2 . . . . . 6 sigaGen
76unieqd 4028 . . . . 5 sigaGen
8 cntop1 17306 . . . . . 6
9 unisg 24528 . . . . . 6 sigaGen
101, 8, 93syl 19 . . . . 5 sigaGen
117, 10eqtrd 2470 . . . 4
12 cnmbfm.3 . . . . . 6 sigaGen
1312unieqd 4028 . . . . 5 sigaGen
14 cntop2 17307 . . . . . 6
15 unisg 24528 . . . . . 6 sigaGen
161, 14, 153syl 19 . . . . 5 sigaGen
1713, 16eqtrd 2470 . . . 4
1811, 17feq23d 5590 . . 3
195, 18mpbird 225 . 2
20 sssigagen 24530 . . . . . . 7 sigaGen
211, 8, 203syl 19 . . . . . 6 sigaGen
2221, 6sseqtr4d 3387 . . . . 5
2322adantr 453 . . . 4
24 cnima 17331 . . . . 5
251, 24sylan 459 . . . 4
2623, 25sseldd 3351 . . 3
2726ralrimiva 2791 . 2
28 elex 2966 . . . 4
291, 14, 283syl 19 . . 3
30 sigagensiga 24526 . . . . . 6 sigaGen sigAlgebra
311, 8, 303syl 19 . . . . 5 sigaGen sigAlgebra
326, 31eqeltrd 2512 . . . 4 sigAlgebra
33 elrnsiga 24511 . . . 4 sigAlgebra sigAlgebra
3432, 33syl 16 . . 3 sigAlgebra
3529, 34, 12imambfm 24614 . 2 MblFnM
3619, 27, 35mpbir2and 890 1 MblFnM
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958   wss 3322  cuni 4017  ccnv 4879   crn 4881  cima 4883  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  ctop 16960   ccn 17290  sigAlgebracsiga 24492  sigaGencsigagen 24523  MblFnMcmbfm 24602 This theorem is referenced by:  sxbrsiga  24642  rrvadd  24712  rrvmulc  24713 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-ac2 8345 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-ac 7999  df-cda 8050  df-top 16965  df-topon 16968  df-cn 17293  df-siga 24493  df-sigagen 24524  df-mbfm 24603
 Copyright terms: Public domain W3C validator