MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmetdval Structured version   Unicode version

Theorem cnmetdval 18806
Description: Value of the distance function of the metric space of complex numbers. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmetdval.1  |-  D  =  ( abs  o.  -  )
Assertion
Ref Expression
cnmetdval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A D B )  =  ( abs `  ( A  -  B
) ) )

Proof of Theorem cnmetdval
StepHypRef Expression
1 subf 9308 . . 3  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
2 opelxpi 4911 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
3 fvco3 5801 . . 3  |-  ( (  -  : ( CC 
X.  CC ) --> CC 
/\  <. A ,  B >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  (
( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )  =  ( abs `  (  -  `  <. A ,  B >. )
) )
41, 2, 3sylancr 646 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )  =  ( abs `  (  -  `  <. A ,  B >. ) ) )
5 df-ov 6085 . . 3  |-  ( A D B )  =  ( D `  <. A ,  B >. )
6 cnmetdval.1 . . . 4  |-  D  =  ( abs  o.  -  )
76fveq1i 5730 . . 3  |-  ( D `
 <. A ,  B >. )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )
85, 7eqtri 2457 . 2  |-  ( A D B )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )
9 df-ov 6085 . . 3  |-  ( A  -  B )  =  (  -  `  <. A ,  B >. )
109fveq2i 5732 . 2  |-  ( abs `  ( A  -  B
) )  =  ( abs `  (  -  ` 
<. A ,  B >. ) )
114, 8, 103eqtr4g 2494 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A D B )  =  ( abs `  ( A  -  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   <.cop 3818    X. cxp 4877    o. ccom 4883   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989    - cmin 9292   abscabs 12040
This theorem is referenced by:  cnmet  18807  cnbl0  18809  cnblcld  18810  cnfldnm  18814  remetdval  18821  blcvx  18830  recld2  18846  zdis  18848  reperflem  18850  addcnlem  18895  divcn  18899  cncfmet  18939  cnheibor  18981  cnllycmp  18982  ipcn  19201  lmclim  19256  cncmet  19276  ovolfsval  19368  ellimc3  19767  lhop1lem  19898  ftc1lem6  19926  ulmdvlem1  20317  psercn  20343  pserdvlem2  20345  abelthlem2  20349  abelthlem3  20350  abelthlem5  20352  abelthlem7  20355  abelth  20358  dvlog2lem  20544  efopn  20550  logtayl  20552  logtayl2  20554  cxpcn3  20633  rlimcnp  20805  xrlimcnp  20808  efrlim  20809  ftalem3  20858  smcnlem  22194  hhcnf  23409  tpr2rico  24311  qqhcn  24376  qqhucn  24377  lgamucov  24823  lgamcvg2  24840  ftc1cnnc  26280  cntotbnd  26506  iccbnd  26550  stirlinglem5  27804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-ltxr 9126  df-sub 9294
  Copyright terms: Public domain W3C validator