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Theorem cnmpt11 17373
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt11.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )
cnmpt11.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt11.b  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  B )  e.  ( K  Cn  L ) )
cnmpt11.c  |-  ( y  =  A  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmpt11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  e.  ( J  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    y, A    x, y    ph, x    x, J, y    x, X, y    x, Y, y    x, K, y   
x, L, y    x, B    y, C
Allowed substitution hints:    ph( y)    A( x)    B( y)    C( x)

Proof of Theorem cnmpt11
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
2 cnmptid.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 cnmpt11.k . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
4 cnmpt11.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )
5 cnf2 16995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
62, 3, 4, 5syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
7 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
87fmpt 5697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  Y  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
96, 8sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A  e.  Y )
109r19.21bi 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  Y )
117fvmpt2 5624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  Y )  ->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  =  A )
121, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  A )
1312fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |->  B ) `  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) )  =  ( ( y  e.  Y  |->  B ) `  A
) )
14 cnmpt11.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  B )  e.  ( K  Cn  L ) )
15 cntop2 16987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Y  |->  B )  e.  ( K  Cn  L )  ->  L  e.  Top )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
17 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. L  =  U. L
1817toptopon 16687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
1916, 18sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
20 cnf2 16995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( y  e.  Y  |->  B )  e.  ( K  Cn  L
) )  ->  (
y  e.  Y  |->  B ) : Y --> U. L
)
213, 19, 14, 20syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  B ) : Y --> U. L )
22 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Y  |->  B )  =  ( y  e.  Y  |->  B )
2322fmpt 5697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  Y  B  e.  U. L  <->  ( y  e.  Y  |->  B ) : Y --> U. L
)
2421, 23sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  B  e.  U. L )
2524adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  B  e.  U. L )
26 cnmpt11.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  B  =  C )
2726eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( B  e.  U. L  <->  C  e.  U. L ) )
2827rspcv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Y  ->  ( A. y  e.  Y  B  e.  U. L  ->  C  e.  U. L ) )
2910, 25, 28sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  U. L )
3026, 22fvmptg 5616 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Y  /\  C  e.  U. L )  ->  ( ( y  e.  Y  |->  B ) `
 A )  =  C )
3110, 29, 30syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |->  B ) `  A
)  =  C )
3213, 31eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |->  B ) `  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) )  =  C )
33 fvco3 5612 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( y  e.  Y  |->  B )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) `  x
)  =  ( ( y  e.  Y  |->  B ) `  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ) )
346, 33sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `  x )  =  ( ( y  e.  Y  |->  B ) `  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) ) )
35 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  |->  C )  =  ( x  e.  X  |->  C )
3635fvmpt2 5624 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  C  e.  U. L )  ->  ( ( x  e.  X  |->  C ) `
 x )  =  C )
371, 29, 36syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  C ) `  x
)  =  C )
3832, 34, 373eqtr4d 2338 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  x
) )
3938ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  x ) )
40 nfv 1609 . . . . 5  |-  F/ z ( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  x )
41 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( y  e.  Y  |->  B )
42 nfmpt1 4125 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  X  |->  A )
4341, 42nfco 4865 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )
44 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ x
z
4543, 44nffv 5548 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 z )
46 nfmpt1 4125 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  X  |->  C )
4746, 44nffv 5548 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  C ) `  z )
4845, 47nfeq 2439 . . . . 5  |-  F/ x
( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 z )  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  z )
49 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `  x )  =  ( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `  z ) )
50 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  X  |->  C ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  z ) )
5149, 50eqeq12d 2310 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  x )  <->  ( (
( y  e.  Y  |->  B )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) `  z
)  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  z ) ) )
5240, 48, 51cbvral 2773 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  (
( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  x
)  <->  A. z  e.  X  ( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 z )  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  z ) )
5339, 52sylib 188 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 z )  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  z ) )
54 fco 5414 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Y  |->  B ) : Y --> U. L  /\  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )  ->  ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) : X --> U. L
)
5521, 6, 54syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) : X --> U. L )
56 ffn 5405 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) : X --> U. L  ->  ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  Fn  X )
5755, 56syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  Fn  X )
5829, 35fmptd 5700 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C ) : X --> U. L )
59 ffn 5405 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  |->  C ) : X --> U. L  ->  ( x  e.  X  |->  C )  Fn  X
)
6058, 59syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  Fn  X
)
61 eqfnfv 5638 . . . 4  |-  ( ( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  Fn  X  /\  ( x  e.  X  |->  C )  Fn  X )  -> 
( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C )  <->  A. z  e.  X  ( (
( y  e.  Y  |->  B )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) `  z
)  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  z ) ) )
6257, 60, 61syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C )  <->  A. z  e.  X  ( (
( y  e.  Y  |->  B )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) `  z
)  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  z ) ) )
6353, 62mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
64 cnco 17011 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( y  e.  Y  |->  B )  e.  ( K  Cn  L
) )  ->  (
( y  e.  Y  |->  B )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  L ) )
654, 14, 64syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  L
) )
6663, 65eqeltrrd 2371 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  e.  ( J  Cn  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   U.cuni 3843    e. cmpt 4093    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970
This theorem is referenced by:  cnmpt11f  17374  cnmptkp  17390  cnmptk1  17391  cnmpt1k  17392  ptunhmeo  17515  tmdgsum  17794  icchmeo  18455  evth2  18474  sinccvglem  24020
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-cn 16973
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