MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1k Unicode version

Theorem cnmpt1k 17376
Description: The composition of a one-arg function with a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptk1.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptk1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmpt1k.m  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  W ) )
cnmpt1k.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L ) )
cnmpt1k.b  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( z  e.  Z  |->  B ) )  e.  ( K  Cn  ( M  ^ k o  L
) ) )
cnmpt1k.c  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmpt1k  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( x  e.  X  |->  C ) )  e.  ( K  Cn  ( M  ^ k o  J
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, L, y    x, M, y   
x, z, Z, y   
z, A    x, B    ph, x, y    x, X, y    x, Y, y   
z, C    y, A
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( x)    B( y, z)    C( x, y)    J( z)    K( z)    L( z)    M( z)    W( x, y, z)    X( z)    Y( z)

Proof of Theorem cnmpt1k
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptk1.j . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmptk1.l . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
3 cnmpt1k.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L ) )
4 cnf2 16979 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L ) )  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Z )
51, 2, 3, 4syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Z )
6 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
76fmpt 5681 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  Z  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Z )
85, 7sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A  e.  Z )
98adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A. x  e.  X  A  e.  Z )
10 eqidd 2284 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
11 eqidd 2284 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  (
z  e.  Z  |->  B )  =  ( z  e.  Z  |->  B ) )
12 cnmpt1k.c . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
139, 10, 11, 12fmptcof 5692 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
1413mpteq2dva 4106 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x  e.  X  |->  C ) ) )
15 cnmptk1.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
16 cnmpt1k.b . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( z  e.  Z  |->  B ) )  e.  ( K  Cn  ( M  ^ k o  L
) ) )
17 topontop 16664 . . . . 5  |-  ( L  e.  (TopOn `  Z
)  ->  L  e.  Top )
182, 17syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
19 cnmpt1k.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  W ) )
20 topontop 16664 . . . . 5  |-  ( M  e.  (TopOn `  W
)  ->  M  e.  Top )
2119, 20syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
22 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( M  ^ k o  L
)  =  ( M  ^ k o  L
)
2322xkotopon 17295 . . . 4  |-  ( ( L  e.  Top  /\  M  e.  Top )  ->  ( M  ^ k o  L )  e.  (TopOn `  ( L  Cn  M
) ) )
2418, 21, 23syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  ^ k o  L )  e.  (TopOn `  ( L  Cn  M
) ) )
2521, 3xkoco1cn 17351 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( L  Cn  M ) 
|->  ( w  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) )  e.  ( ( M  ^ k o  L )  Cn  ( M  ^ k o  J ) ) )
26 coeq1 4841 . . 3  |-  ( w  =  ( z  e.  Z  |->  B )  -> 
( w  o.  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) )
2715, 16, 24, 25, 26cnmpt11 17357 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) )  e.  ( K  Cn  ( M  ^ k o  J ) ) )
2814, 27eqeltrrd 2358 1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( x  e.  X  |->  C ) )  e.  ( K  Cn  ( M  ^ k o  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    e. cmpt 4077    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    ^ k o cxko 17256
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-cmp 17114  df-xko 17258
  Copyright terms: Public domain W3C validator