Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1k Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt1k 17716
 Description: The composition of a one-arg function with a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j TopOn
cnmptk1.k TopOn
cnmptk1.l TopOn
cnmpt1k.m TopOn
cnmpt1k.a
cnmpt1k.b
cnmpt1k.c
Assertion
Ref Expression
cnmpt1k
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)   (,)   ()   ()   ()   ()   (,,)   ()   ()

Proof of Theorem cnmpt1k
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptk1.j . . . . . . 7 TopOn
2 cnmptk1.l . . . . . . 7 TopOn
3 cnmpt1k.a . . . . . . 7
4 cnf2 17315 . . . . . . 7 TopOn TopOn
51, 2, 3, 4syl3anc 1185 . . . . . 6
6 eqid 2438 . . . . . . 7
76fmpt 5892 . . . . . 6
85, 7sylibr 205 . . . . 5
98adantr 453 . . . 4
10 eqidd 2439 . . . 4
11 eqidd 2439 . . . 4
12 cnmpt1k.c . . . 4
139, 10, 11, 12fmptcof 5904 . . 3
1413mpteq2dva 4297 . 2
15 cnmptk1.k . . 3 TopOn
16 cnmpt1k.b . . 3
17 topontop 16993 . . . . 5 TopOn
182, 17syl 16 . . . 4
19 cnmpt1k.m . . . . 5 TopOn
20 topontop 16993 . . . . 5 TopOn
2119, 20syl 16 . . . 4
22 eqid 2438 . . . . 5
2322xkotopon 17634 . . . 4 TopOn
2418, 21, 23syl2anc 644 . . 3 TopOn
2521, 3xkoco1cn 17691 . . 3
26 coeq1 5032 . . 3
2715, 16, 24, 25, 26cnmpt11 17697 . 2
2814, 27eqeltrrd 2513 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   cmpt 4268   ccom 4884  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  ctop 16960  TopOnctopon 16961   ccn 17290   cxko 17595 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-fin 7115  df-fi 7418  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cn 17293  df-cmp 17452  df-xko 17597
 Copyright terms: Public domain W3C validator