MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1k Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt1k 17716
Description: The composition of a one-arg function with a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptk1.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptk1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmpt1k.m  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  W ) )
cnmpt1k.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L ) )
cnmpt1k.b  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( z  e.  Z  |->  B ) )  e.  ( K  Cn  ( M  ^ k o  L
) ) )
cnmpt1k.c  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmpt1k  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( x  e.  X  |->  C ) )  e.  ( K  Cn  ( M  ^ k o  J
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, L, y    x, M, y   
x, z, Z, y   
z, A    x, B    ph, x, y    x, X, y    x, Y, y   
z, C    y, A
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( x)    B( y, z)    C( x, y)    J( z)    K( z)    L( z)    M( z)    W( x, y, z)    X( z)    Y( z)

Proof of Theorem cnmpt1k
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptk1.j . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmptk1.l . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
3 cnmpt1k.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L ) )
4 cnf2 17315 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L ) )  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Z )
51, 2, 3, 4syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Z )
6 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
76fmpt 5892 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  Z  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Z )
85, 7sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A  e.  Z )
98adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A. x  e.  X  A  e.  Z )
10 eqidd 2439 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  (
x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A ) )
11 eqidd 2439 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  (
z  e.  Z  |->  B )  =  ( z  e.  Z  |->  B ) )
12 cnmpt1k.c . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
139, 10, 11, 12fmptcof 5904 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
1413mpteq2dva 4297 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x  e.  X  |->  C ) ) )
15 cnmptk1.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
16 cnmpt1k.b . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( z  e.  Z  |->  B ) )  e.  ( K  Cn  ( M  ^ k o  L
) ) )
17 topontop 16993 . . . . 5  |-  ( L  e.  (TopOn `  Z
)  ->  L  e.  Top )
182, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
19 cnmpt1k.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  W ) )
20 topontop 16993 . . . . 5  |-  ( M  e.  (TopOn `  W
)  ->  M  e.  Top )
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
22 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( M  ^ k o  L
)  =  ( M  ^ k o  L
)
2322xkotopon 17634 . . . 4  |-  ( ( L  e.  Top  /\  M  e.  Top )  ->  ( M  ^ k o  L )  e.  (TopOn `  ( L  Cn  M
) ) )
2418, 21, 23syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  ^ k o  L )  e.  (TopOn `  ( L  Cn  M
) ) )
2521, 3xkoco1cn 17691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( L  Cn  M ) 
|->  ( w  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) )  e.  ( ( M  ^ k o  L )  Cn  ( M  ^ k o  J ) ) )
26 coeq1 5032 . . 3  |-  ( w  =  ( z  e.  Z  |->  B )  -> 
( w  o.  (
x  e.  X  |->  A ) )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) )
2715, 16, 24, 25, 26cnmpt11 17697 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) )  e.  ( K  Cn  ( M  ^ k o  J ) ) )
2814, 27eqeltrrd 2513 1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( x  e.  X  |->  C ) )  e.  ( K  Cn  ( M  ^ k o  J
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    e. cmpt 4268    o. ccom 4884   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Topctop 16960  TopOnctopon 16961    Cn ccn 17290    ^ k o cxko 17595
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-fin 7115  df-fi 7418  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cn 17293  df-cmp 17452  df-xko 17597
  Copyright terms: Public domain W3C validator