MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1mulr Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt1mulr 18213
Description: Continuity of ring multiplication; analogue of cnmpt12f 17700 which cannot be used directly because 
.r is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulrcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
cnmpt1mulr.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
cnmpt1mulr.r  |-  ( ph  ->  R  e.  TopRing )
cnmpt1mulr.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt1mulr.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( K  Cn  J ) )
cnmpt1mulr.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( K  Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt1mulr  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  .x.  B
) )  e.  ( K  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, K    ph, x    x, R    x, X
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    .x. ( x)

Proof of Theorem cnmpt1mulr
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . 3  |-  (mulGrp `  R )  =  (mulGrp `  R )
2 mulrcn.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
31, 2mgptopn 15659 . 2  |-  J  =  ( TopOpen `  (mulGrp `  R
) )
4 cnmpt1mulr.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  R )
51, 4mgpplusg 15654 . 2  |-  .x.  =  ( +g  `  (mulGrp `  R ) )
6 cnmpt1mulr.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  TopRing )
71trgtmd 18196 . . 3  |-  ( R  e.  TopRing  ->  (mulGrp `  R )  e. TopMnd )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  R )  e. TopMnd )
9 cnmpt1mulr.k . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
10 cnmpt1mulr.a . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( K  Cn  J ) )
11 cnmpt1mulr.b . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( K  Cn  J ) )
123, 5, 8, 9, 10, 11cnmpt1plusg 18119 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A  .x.  B
) )  e.  ( K  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   .rcmulr 13532   TopOpenctopn 13651  mulGrpcmgp 15650  TopOnctopon 16961    Cn ccn 17290  TopMndctmd 18102   TopRingctrg 18187
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-plusg 13544  df-tset 13550  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-plusf 14693  df-mgp 15651  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cn 17293  df-tx 17596  df-tmd 18104  df-trg 18191
  Copyright terms: Public domain W3C validator