Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1plusg Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt1plusg 18109
 Description: Continuity of the group sum; analogue of cnmpt12f 17690 which cannot be used directly because is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j
cnmpt1plusg.p
cnmpt1plusg.g TopMnd
cnmpt1plusg.k TopOn
cnmpt1plusg.a
cnmpt1plusg.b
Assertion
Ref Expression
cnmpt1plusg
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem cnmpt1plusg
StepHypRef Expression
1 cnmpt1plusg.k . . . . . . 7 TopOn
2 cnmpt1plusg.g . . . . . . . 8 TopMnd
3 tgpcn.j . . . . . . . . 9
4 eqid 2435 . . . . . . . . 9
53, 4tmdtopon 18103 . . . . . . . 8 TopMnd TopOn
62, 5syl 16 . . . . . . 7 TopOn
7 cnmpt1plusg.a . . . . . . 7
8 cnf2 17305 . . . . . . 7 TopOn TopOn
91, 6, 7, 8syl3anc 1184 . . . . . 6
10 eqid 2435 . . . . . . 7
1110fmpt 5882 . . . . . 6
129, 11sylibr 204 . . . . 5
1312r19.21bi 2796 . . . 4
14 cnmpt1plusg.b . . . . . . 7
15 cnf2 17305 . . . . . . 7 TopOn TopOn
161, 6, 14, 15syl3anc 1184 . . . . . 6
17 eqid 2435 . . . . . . 7
1817fmpt 5882 . . . . . 6
1916, 18sylibr 204 . . . . 5
2019r19.21bi 2796 . . . 4
21 cnmpt1plusg.p . . . . 5
22 eqid 2435 . . . . 5
234, 21, 22plusfval 14695 . . . 4
2413, 20, 23syl2anc 643 . . 3
2524mpteq2dva 4287 . 2
263, 22tmdcn 18105 . . . 4 TopMnd
272, 26syl 16 . . 3
281, 7, 14, 27cnmpt12f 17690 . 2
2925, 28eqeltrrd 2510 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   cmpt 4258  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cbs 13461   cplusg 13521  ctopn 13641  cplusf 14679  TopOnctopon 16951   ccn 17280   ctx 17584  TopMndctmd 18092 This theorem is referenced by:  tmdmulg  18114  tmdgsum  18117  tmdlactcn  18124  clsnsg  18131  tgpt0  18140  cnmpt1mulr  18203 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012  df-topgen 13659  df-plusf 14683  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cn 17283  df-tx 17586  df-tmd 18094
 Copyright terms: Public domain W3C validator