MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1res Unicode version

Theorem cnmpt1res 17631
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
cnmpt1res.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt1res.5  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
cnmpt1res.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt1res  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    J( x)    K( x)    L( x)

Proof of Theorem cnmpt1res
StepHypRef Expression
1 cnmpt1res.5 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
2 resmpt 5133 . . 3  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
4 cnmpt1res.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L ) )
5 cnmpt1res.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 toponuni 16917 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
81, 7sseqtrd 3329 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  U. J )
9 eqid 2389 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
109cnrest 17273 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L )  /\  Y  C_  U. J
)  ->  ( (
x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  L ) )
114, 8, 10syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  L
) )
12 cnmpt1res.2 . . . 4  |-  K  =  ( Jt  Y )
1312oveq1i 6032 . . 3  |-  ( K  Cn  L )  =  ( ( Jt  Y )  Cn  L )
1411, 13syl6eleqr 2480 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  e.  ( K  Cn  L ) )
153, 14eqeltrrd 2464 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3265   U.cuni 3959    e. cmpt 4209    |` cres 4822   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   ↾t crest 13577  TopOnctopon 16884    Cn ccn 17212
This theorem is referenced by:  symgtgp  18054  subgtgp  18058  cnmptre  18825  evth2  18858  pcoass  18922  efrlim  20677  ipasslem7  22187  cvxpcon  24710  cvmliftlem8  24760
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-fin 7051  df-fi 7353  df-rest 13579  df-topgen 13596  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-cn 17215
  Copyright terms: Public domain W3C validator