MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt1res Unicode version

Theorem cnmpt1res 17386
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
cnmpt1res.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt1res.5  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
cnmpt1res.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt1res  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    J( x)    K( x)    L( x)

Proof of Theorem cnmpt1res
StepHypRef Expression
1 cnmpt1res.5 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
2 resmpt 5016 . . 3  |-  ( Y 
C_  X  ->  (
( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  =  ( x  e.  Y  |->  A ) )
4 cnmpt1res.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L ) )
5 cnmpt1res.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 toponuni 16681 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
81, 7sseqtrd 3227 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  C_  U. J )
9 eqid 2296 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
109cnrest 17029 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  L )  /\  Y  C_  U. J
)  ->  ( (
x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  L ) )
114, 8, 10syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  e.  ( ( Jt  Y )  Cn  L
) )
12 cnmpt1res.2 . . . 4  |-  K  =  ( Jt  Y )
1312oveq1i 5884 . . 3  |-  ( K  Cn  L )  =  ( ( Jt  Y )  Cn  L )
1411, 13syl6eleqr 2387 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  |->  A )  |`  Y )  e.  ( K  Cn  L ) )
153, 14eqeltrrd 2371 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   U.cuni 3843    e. cmpt 4093    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970
This theorem is referenced by:  symgtgp  17800  subgtgp  17804  cnmptre  18441  evth2  18474  pcoass  18538  efrlim  20280  ipasslem7  21430  cvxpcon  23788  cvmliftlem8  23838
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973
  Copyright terms: Public domain W3C validator