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Theorem cnmpt1t 17685
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt11.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )
cnmpt1t.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt1t  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  L ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, J    x, X    x, K    x, L
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem cnmpt1t
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptid.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 toponuni 16980 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
3 mpteq1 4281 . . . 4  |-  ( X  =  U. J  -> 
( x  e.  X  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )  =  ( x  e.  U. J  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. ) )
41, 2, 33syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )  =  ( x  e.  U. J  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. ) )
5 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
6 cnmpt11.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )
7 cntop2 17293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
9 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  U. K  =  U. K
109toptopon 16986 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
118, 10sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
12 cnf2 17301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> U. K
)
131, 11, 6, 12syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. K )
14 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
1514fmpt 5881 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  U. K  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. K
)
1613, 15sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A  e.  U. K )
1716r19.21bi 2796 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  U. K )
1814fvmpt2 5803 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  U. K )  ->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x )  =  A )
195, 17, 18syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  A )
20 cnmpt1t.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L ) )
21 cntop2 17293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L )  ->  L  e.  Top )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
23 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  U. L  =  U. L
2423toptopon 16986 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
2522, 24sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
26 cnf2 17301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L
) )  ->  (
x  e.  X  |->  B ) : X --> U. L
)
271, 25, 20, 26syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> U. L )
28 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
2928fmpt 5881 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  U. L  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> U. L
)
3027, 29sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  U. L )
3130r19.21bi 2796 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  U. L )
3228fvmpt2 5803 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  B  e.  U. L )  ->  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 x )  =  B )
335, 31, 32syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  x
)  =  B )
3419, 33opeq12d 3984 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x )
>.  =  <. A ,  B >. )
3534mpteq2dva 4287 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )  =  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) )
364, 35eqtr3d 2469 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. J  |->  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >. )  =  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) )
37 eqid 2435 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
38 nfcv 2571 . . . . 5  |-  F/_ y <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >.
39 nffvmpt1 5727 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  A ) `  y )
40 nffvmpt1 5727 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  B ) `  y )
4139, 40nfop 3992 . . . . 5  |-  F/_ x <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  y ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  y
) >.
42 fveq2 5719 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  y ) )
43 fveq2 5719 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  y ) )
4442, 43opeq12d 3984 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  <. (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x )
>.  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  y ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 y ) >.
)
4538, 41, 44cbvmpt 4291 . . . 4  |-  ( x  e.  U. J  |->  <.
( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )  =  ( y  e.  U. J  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  y ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  y
) >. )
4637, 45txcnmpt 17644 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L
) )  ->  (
x  e.  U. J  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )  e.  ( J  Cn  ( K 
tX  L ) ) )
476, 20, 46syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. J  |->  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  L ) ) )
4836, 47eqeltrrd 2510 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  L ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   <.cop 3809   U.cuni 4007    e. cmpt 4258   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   Topctop 16946  TopOnctopon 16947    Cn ccn 17276    tX ctx 17580
This theorem is referenced by:  cnmpt12f  17686  xkoinjcn  17707  txcon  17709  imasnopn  17710  imasncld  17711  imasncls  17712  ptunhmeo  17828  xkohmeo  17835  cnrehmeo  18966
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-map 7011  df-topgen 13655  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-cn 17279  df-tx 17582
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