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Theorem cnmpt1t 17459
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt11.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )
cnmpt1t.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt1t  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  L ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, J    x, X    x, K    x, L
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem cnmpt1t
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptid.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 toponuni 16765 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
3 mpteq1 4179 . . . 4  |-  ( X  =  U. J  -> 
( x  e.  X  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )  =  ( x  e.  U. J  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. ) )
41, 2, 33syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )  =  ( x  e.  U. J  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. ) )
5 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
6 cnmpt11.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )
7 cntop2 17071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
86, 7syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
9 eqid 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  U. K  =  U. K
109toptopon 16771 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
118, 10sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
12 cnf2 17079 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> U. K
)
131, 11, 6, 12syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. K )
14 eqid 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
1514fmpt 5761 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  U. K  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> U. K
)
1613, 15sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A  e.  U. K )
1716r19.21bi 2717 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  U. K )
1814fvmpt2 5688 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  U. K )  ->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x )  =  A )
195, 17, 18syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  A )
20 cnmpt1t.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L ) )
21 cntop2 17071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L )  ->  L  e.  Top )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
23 eqid 2358 . . . . . . . . . . 11  |-  U. L  =  U. L
2423toptopon 16771 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
2522, 24sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
26 cnf2 17079 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L
) )  ->  (
x  e.  X  |->  B ) : X --> U. L
)
271, 25, 20, 26syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> U. L )
28 eqid 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
2928fmpt 5761 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  U. L  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> U. L
)
3027, 29sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  U. L )
3130r19.21bi 2717 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  U. L )
3228fvmpt2 5688 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  B  e.  U. L )  ->  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 x )  =  B )
335, 31, 32syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  x
)  =  B )
3419, 33opeq12d 3883 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  <. (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x )
>.  =  <. A ,  B >. )
3534mpteq2dva 4185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )  =  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) )
364, 35eqtr3d 2392 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. J  |->  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >. )  =  ( x  e.  X  |->  <. A ,  B >. ) )
37 eqid 2358 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
38 nfcv 2494 . . . . 5  |-  F/_ y <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >.
39 nfmpt1 4188 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  X  |->  A )
40 nfcv 2494 . . . . . . 7  |-  F/_ x
y
4139, 40nffv 5612 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  A ) `  y )
42 nfmpt1 4188 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  X  |->  B )
4342, 40nffv 5612 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  B ) `  y )
4441, 43nfop 3891 . . . . 5  |-  F/_ x <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  y ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  y
) >.
45 fveq2 5605 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  y ) )
46 fveq2 5605 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  X  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  y ) )
4745, 46opeq12d 3883 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  <. (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x )
>.  =  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  y ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `
 y ) >.
)
4838, 44, 47cbvmpt 4189 . . . 4  |-  ( x  e.  U. J  |->  <.
( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )  =  ( y  e.  U. J  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  y ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  y
) >. )
4937, 48txcnmpt 17418 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L
) )  ->  (
x  e.  U. J  |-> 
<. ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x
) >. )  e.  ( J  Cn  ( K 
tX  L ) ) )
506, 20, 49syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. J  |->  <. ( ( x  e.  X  |->  A ) `
 x ) ,  ( ( x  e.  X  |->  B ) `  x ) >. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  L ) ) )
5136, 50eqeltrrd 2433 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |-> 
<. A ,  B >. )  e.  ( J  Cn  ( K  tX  L ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   <.cop 3719   U.cuni 3906    e. cmpt 4156   -->wf 5330   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   Topctop 16731  TopOnctopon 16732    Cn ccn 17054    tX ctx 17355
This theorem is referenced by:  cnmpt12f  17460  xkoinjcn  17481  txcon  17483  ptunhmeo  17599  xkohmeo  17606  cnrehmeo  18549
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-map 6859  df-topgen 13437  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-cn 17057  df-tx 17357
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