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Theorem cnmpt21 17708
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt21.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt21.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
cnmpt21.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmpt21.b  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M ) )
cnmpt21.c  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmpt21  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, J    x, y, z, L    ph, x, y, z   
x, X, y, z   
x, M, y, z   
x, Y, y, z   
z, K    x, Z, y, z    x, B, y   
z, C
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( z)    C( x, y)    J( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt21
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6087 . . . . . . . . . 10  |-  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 <. x ,  y
>. )
2 simprl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  x  e.  X )
3 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
y  e.  Y )
4 cnmpt21.j . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 cnmpt21.k . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
6 txtopon 17628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
74, 5, 6syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
8 cnmpt21.l . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
9 cnmpt21.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
10 cnf2 17318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> Z )
117, 8, 9, 10syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> Z )
12 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
1312fmpt2 6421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  Z  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> Z )
1411, 13sylibr 205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  Z )
15 rsp2 2770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  Z  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  Z ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  Z ) )
1716imp 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  A  e.  Z )
1812ovmpt4g 6199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  A  e.  Z )  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
192, 3, 17, 18syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
201, 19syl5eqr 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >.
)  =  A )
2120fveq2d 5735 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B ) `  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >.
) )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B ) `  A
) )
22 cnmpt21.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M ) )
23 cntop2 17310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M )  ->  M  e.  Top )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
25 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. M  =  U. M
2625toptopon 17003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  Top  <->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
2724, 26sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
28 cnf2 17318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  (TopOn `  Z )  /\  M  e.  (TopOn `  U. M )  /\  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M
) )  ->  (
z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M
)
298, 27, 22, 28syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M )
30 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Z  |->  B )  =  ( z  e.  Z  |->  B )
3130fmpt 5893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  Z  B  e.  U. M  <->  ( z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M
)
3229, 31sylibr 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  Z  B  e.  U. M )
3332adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  A. z  e.  Z  B  e.  U. M )
34 cnmpt21.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
3534eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  A  ->  ( B  e.  U. M  <->  C  e.  U. M ) )
3635rspcv 3050 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Z  ->  ( A. z  e.  Z  B  e.  U. M  ->  C  e.  U. M ) )
3717, 33, 36sylc 59 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  C  e.  U. M )
3834, 30fvmptg 5807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Z  /\  C  e.  U. M )  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B ) `
 A )  =  C )
3917, 37, 38syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B ) `  A )  =  C )
4021, 39eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B ) `  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >.
) )  =  C )
41 opelxpi 4913 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  -> 
<. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y
) )
42 fvco3 5803 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> Z  /\  <. x ,  y >.  e.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >. )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B ) `
 ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `
 <. x ,  y
>. ) ) )
4311, 41, 42syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( z  e.  Z  |->  B ) `  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) `  <. x ,  y >. )
) )
44 df-ov 6087 . . . . . . . 8  |-  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) y )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 <. x ,  y
>. )
45 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )
4645ovmpt4g 6199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  C  e.  U. M )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) y )  =  C )
472, 3, 37, 46syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) y )  =  C )
4844, 47syl5eqr 2484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >.
)  =  C )
4940, 43, 483eqtr4d 2480 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
)
5049ralrimivva 2800 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
)
51 nfv 1630 . . . . . 6  |-  F/ u A. y  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
52 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ x Y
53 nfcv 2574 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( z  e.  Z  |->  B )
54 nfmpt21 6143 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
5553, 54nfco 5041 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
56 nfcv 2574 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x <. u ,  v >.
5755, 56nffv 5738 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )
58 nfmpt21 6143 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )
5958, 56nffv 5738 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >.
)
6057, 59nfeq 2581 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
6152, 60nfral 2761 . . . . . 6  |-  F/ x A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
62 nfv 1630 . . . . . . . 8  |-  F/ v ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )
63 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
( z  e.  Z  |->  B )
64 nfmpt22 6144 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
6563, 64nfco 5041 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
66 nfcv 2574 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y <. x ,  v >.
6765, 66nffv 5738 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )
68 nfmpt22 6144 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )
6968, 66nffv 5738 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >.
)
7067, 69nfeq 2581 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )
71 opeq2 3987 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  v >. )
7271fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >. )
)
7371fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  v  ->  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 <. x ,  v
>. ) )
7472, 73eqeq12d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  v  ->  (
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )
) )
7562, 70, 74cbvral 2930 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  Y  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )
)
76 opeq1 3986 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  <. x ,  v >.  =  <. u ,  v >. )
7776fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  v >.
)  =  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >. )
)
7876fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 <. u ,  v
>. ) )
7977, 78eqeq12d 2452 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  (
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )  <->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
8079ralbidv 2727 . . . . . . 7  |-  ( x  =  u  ->  ( A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  v >. )  <->  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
8175, 80syl5bb 250 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  ( A. y  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. x ,  y
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
8251, 61, 81cbvral 2930 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. x ,  y >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. x ,  y >. )  <->  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >.
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
)
8350, 82sylib 190 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
)
84 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  <. u ,  v >. )
)
85 fveq2 5731 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >.
) )
8684, 85eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( w  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  w )  <-> 
( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
) )
8786ralxp 5019 . . . 4  |-  ( A. w  e.  ( X  X.  Y ) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
)  =  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) `  w )  <->  A. u  e.  X  A. v  e.  Y  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 <. u ,  v
>. )  =  (
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  <. u ,  v >. )
)
8883, 87sylibr 205 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ( X  X.  Y ) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `  w ) )
89 fco 5603 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  Z  |->  B ) : Z --> U. M  /\  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> Z )  ->  ( (
z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) : ( X  X.  Y ) --> U. M )
9029, 11, 89syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) : ( X  X.  Y
) --> U. M )
91 ffn 5594 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) ) : ( X  X.  Y ) --> U. M  ->  (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) )  Fn  ( X  X.  Y ) )
9290, 91syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  Fn  ( X  X.  Y
) )
9337ralrimivva 2800 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  C  e.  U. M )
9445fmpt2 6421 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  C  e.  U. M  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) : ( X  X.  Y
) --> U. M )
9593, 94sylib 190 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) : ( X  X.  Y ) --> U. M )
96 ffn 5594 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  C ) : ( X  X.  Y ) --> U. M  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  Fn  ( X  X.  Y
) )
9795, 96syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  Fn  ( X  X.  Y ) )
98 eqfnfv 5830 . . . 4  |-  ( ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  Fn  ( X  X.  Y
)  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  Fn  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  <->  A. w  e.  ( X  X.  Y
) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 w ) ) )
9992, 97, 98syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  <->  A. w  e.  ( X  X.  Y
) ( ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) `
 w ) ) )
10088, 99mpbird 225 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C ) )
101 cnco 17335 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  /\  ( z  e.  Z  |->  B )  e.  ( L  Cn  M
) )  ->  (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
1029, 22, 101syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  M
) )
103100, 102eqeltrrd 2513 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  C )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   <.cop 3819   U.cuni 4017    e. cmpt 4269    X. cxp 4879    o. ccom 4885    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086   Topctop 16963  TopOnctopon 16964    Cn ccn 17293    tX ctx 17597
This theorem is referenced by:  cnmpt21f  17709  xkofvcn  17721  xkohmeo  17852  divstgplem  18155  prdstmdd  18158  divcn  18903  htpycom  19006  htpycc  19010  reparphti  19027  pcocn  19047  pcohtpylem  19049  pcopt  19052  pcopt2  19053  pcoass  19054  pcorevlem  19056  dipcn  22224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-map 7023  df-topgen 13672  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cn 17296  df-tx 17599
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