MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt21f Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt21f 17705
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt21.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt21.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
cnmpt21f.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( L  Cn  M ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt21f  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( F `  A
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, L, y    ph, x, y    x, X, y    x, M, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    J( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt21f
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmpt21.j . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmpt21.k . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 cnmpt21.a . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
4 cnmpt21f.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( L  Cn  M ) )
5 cntop1 17305 . . . 4  |-  ( F  e.  ( L  Cn  M )  ->  L  e.  Top )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
7 eqid 2437 . . . 4  |-  U. L  =  U. L
87toptopon 16999 . . 3  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
96, 8sylib 190 . 2  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
10 eqid 2437 . . . . . 6  |-  U. M  =  U. M
117, 10cnf 17311 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( L  Cn  M )  ->  F : U. L --> U. M
)
124, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : U. L --> U. M )
1312feqmptd 5780 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( z  e.  U. L  |->  ( F `  z ) ) )
1413, 4eqeltrrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U. L  |->  ( F `  z ) )  e.  ( L  Cn  M
) )
15 fveq2 5729 . 2  |-  ( z  =  A  ->  ( F `  z )  =  ( F `  A ) )
161, 2, 3, 9, 14, 15cnmpt21 17704 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( F `  A
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   U.cuni 4016    e. cmpt 4267   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    e. cmpt2 6084   Topctop 16959  TopOnctopon 16960    Cn ccn 17289    tX ctx 17593
This theorem is referenced by:  cnmpt22  17707  cnmptk2  17719  txhmeo  17836  tgpsubcn  18121  istgp2  18122  dvrcn  18214  htpyid  19003  htpyco1  19004  reparphti  19023  pcocn  19043  pcorevlem  19052  cxpcn  20630  dipcn  22220  mndpluscn  24313  cvxscon  24931  cvmlift2lem6  24996  cvmlift2lem12  25002
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-map 7021  df-topgen 13668  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-cn 17292  df-tx 17595
  Copyright terms: Public domain W3C validator