Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt22 Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt22 17698
 Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j TopOn
cnmpt21.k TopOn
cnmpt21.a
cnmpt2t.b
cnmpt22.l TopOn
cnmpt22.m TopOn
cnmpt22.c
cnmpt22.d
Assertion
Ref Expression
cnmpt22
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,   ,,,,   ,,,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   (,)   (,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem cnmpt22
StepHypRef Expression
1 df-ov 6076 . . . 4
2 cnmpt21.j . . . . . . . . . 10 TopOn
3 cnmpt21.k . . . . . . . . . 10 TopOn
4 txtopon 17615 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn TopOn
52, 3, 4syl2anc 643 . . . . . . . . 9 TopOn
6 cnmpt22.l . . . . . . . . 9 TopOn
7 cnmpt21.a . . . . . . . . 9
8 cnf2 17305 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
95, 6, 7, 8syl3anc 1184 . . . . . . . 8
10 eqid 2435 . . . . . . . . 9
1110fmpt2 6410 . . . . . . . 8
129, 11sylibr 204 . . . . . . 7
13 rsp2 2760 . . . . . . 7
1412, 13syl 16 . . . . . 6
15143impib 1151 . . . . 5
16 cnmpt22.m . . . . . . . . 9 TopOn
17 cnmpt2t.b . . . . . . . . 9
18 cnf2 17305 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
195, 16, 17, 18syl3anc 1184 . . . . . . . 8
20 eqid 2435 . . . . . . . . 9
2120fmpt2 6410 . . . . . . . 8
2219, 21sylibr 204 . . . . . . 7
23 rsp2 2760 . . . . . . 7
2422, 23syl 16 . . . . . 6
25243impib 1151 . . . . 5
2615, 25jca 519 . . . . . 6
27 txtopon 17615 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn TopOn
286, 16, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 TopOn
29 cnmpt22.c . . . . . . . . . . . 12
30 cntop2 17297 . . . . . . . . . . . 12
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . 11
32 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
3332toptopon 16990 . . . . . . . . . . 11 TopOn
3431, 33sylib 189 . . . . . . . . . 10 TopOn
35 cnf2 17305 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
3628, 34, 29, 35syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
37 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
3837fmpt2 6410 . . . . . . . . 9
3936, 38sylibr 204 . . . . . . . 8
40 r2al 2734 . . . . . . . 8
4139, 40sylib 189 . . . . . . 7
42413ad2ant1 978 . . . . . 6
43 eleq1 2495 . . . . . . . . 9
44 eleq1 2495 . . . . . . . . 9
4543, 44bi2anan9 844 . . . . . . . 8
46 cnmpt22.d . . . . . . . . 9
4746eleq1d 2501 . . . . . . . 8
4845, 47imbi12d 312 . . . . . . 7
4948spc2gv 3031 . . . . . 6
5026, 42, 26, 49syl3c 59 . . . . 5
5146, 37ovmpt2ga 6195 . . . . 5
5215, 25, 50, 51syl3anc 1184 . . . 4
531, 52syl5eqr 2481 . . 3
5453mpt2eq3dva 6130 . 2
552, 3, 7, 17cnmpt2t 17697 . . 3
562, 3, 55, 29cnmpt21f 17696 . 2
5754, 56eqeltrrd 2510 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cop 3809  cuni 4007   cxp 4868  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  ctop 16950  TopOnctopon 16951   ccn 17280   ctx 17584 This theorem is referenced by:  cnmpt22f  17699  xkofvcn  17708  cnmptk2  17710  pcorevlem  19043 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cn 17283  df-tx 17586
 Copyright terms: Public domain W3C validator