MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2ds Unicode version

Theorem cnmpt2ds 18738
Description: Continuity of the metric function; analogue of cnmpt22f 17621 which cannot be used directly because  D is not necessarily a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1ds.d  |-  D  =  ( dist `  G
)
cnmpt1ds.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
cnmpt1ds.r  |-  R  =  ( topGen `  ran  (,) )
cnmpt1ds.g  |-  ( ph  ->  G  e.  MetSp )
cnmpt1ds.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt2ds.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt2ds.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
cnmpt2ds.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2ds  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A D B ) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  R ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, G, y    x, J, y    x, K    ph, x, y    x, R, y    x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    K( y)    L( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2ds
StepHypRef Expression
1 cnmpt1ds.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmpt2ds.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
3 txtopon 17537 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
41, 2, 3syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
5 cnmpt1ds.g . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  MetSp )
6 mstps 18368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  MetSp  ->  G  e.  TopSp
)
75, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  TopSp )
8 eqid 2380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
9 cnmpt1ds.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
108, 9istps 16917 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
) )
117, 10sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
) )
12 cnmpt2ds.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
13 cnf2 17228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
144, 11, 12, 13syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> ( Base `  G
) )
15 eqid 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
1615fmpt2 6350 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  G
)  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
1714, 16sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  G ) )
1817r19.21bi 2740 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  G )
)
1918r19.21bi 2740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  ( Base `  G
) )
20 cnmpt2ds.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
21 cnf2 17228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
224, 11, 20, 21syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y ) --> ( Base `  G
) )
23 eqid 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )
2423fmpt2 6350 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  G
)  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
2522, 24sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  G ) )
2625r19.21bi 2740 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  G )
)
2726r19.21bi 2740 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  B  e.  ( Base `  G
) )
2819, 27ovresd 6146 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A ( D  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) B )  =  ( A D B ) )
29283impa 1148 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( A
( D  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) ) B )  =  ( A D B ) )
3029mpt2eq3dva 6070 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A ( D  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) B ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A D B ) ) )
31 cnmpt1ds.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  G
)
32 cnmpt1ds.r . . . . 5  |-  R  =  ( topGen `  ran  (,) )
338, 31, 9, 32msdcn 18736 . . . 4  |-  ( G  e.  MetSp  ->  ( D  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) )  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  R ) )
345, 33syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D  |`  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) ) )  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  R
) )
351, 2, 12, 20, 34cnmpt22f 17621 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A ( D  |`  ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) ) B ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  R
) )
3630, 35eqeltrrd 2455 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A D B ) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642    X. cxp 4809   ran crn 4812    |` cres 4813   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    e. cmpt2 6015   (,)cioo 10841   Basecbs 13389   distcds 13458   TopOpenctopn 13569   topGenctg 13585  TopOnctopon 16875   TopSpctps 16877    Cn ccn 17203    tX ctx 17506   MetSpcmt 18250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-ec 6836  df-map 6949  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-ioo 10845  df-ioc 10846  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-hom 13473  df-cco 13474  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-pt 13588  df-prds 13591  df-ordt 13645  df-xrs 13646  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-qtop 13653  df-imas 13654  df-xps 13656  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-ps 14549  df-tsr 14550  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-mulg 14735  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cn 17206  df-cnp 17207  df-tx 17508  df-hmeo 17701  df-xms 18252  df-ms 18253  df-tms 18254
  Copyright terms: Public domain W3C validator