Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2ds Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt2ds 18866
 Description: Continuity of the metric function; analogue of cnmpt22f 17699 which cannot be used directly because is not necessarily a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1ds.d
cnmpt1ds.j
cnmpt1ds.r
cnmpt1ds.g
cnmpt1ds.k TopOn
cnmpt2ds.l TopOn
cnmpt2ds.a
cnmpt2ds.b
Assertion
Ref Expression
cnmpt2ds
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem cnmpt2ds
StepHypRef Expression
1 cnmpt1ds.k . . . . . . . . . 10 TopOn
2 cnmpt2ds.l . . . . . . . . . 10 TopOn
3 txtopon 17615 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn TopOn
41, 2, 3syl2anc 643 . . . . . . . . 9 TopOn
5 cnmpt1ds.g . . . . . . . . . . 11
6 mstps 18477 . . . . . . . . . . 11
75, 6syl 16 . . . . . . . . . 10
8 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
9 cnmpt1ds.j . . . . . . . . . . 11
108, 9istps 16993 . . . . . . . . . 10 TopOn
117, 10sylib 189 . . . . . . . . 9 TopOn
12 cnmpt2ds.a . . . . . . . . 9
13 cnf2 17305 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
144, 11, 12, 13syl3anc 1184 . . . . . . . 8
15 eqid 2435 . . . . . . . . 9
1615fmpt2 6410 . . . . . . . 8
1714, 16sylibr 204 . . . . . . 7
1817r19.21bi 2796 . . . . . 6
1918r19.21bi 2796 . . . . 5
20 cnmpt2ds.b . . . . . . . . 9
21 cnf2 17305 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
224, 11, 20, 21syl3anc 1184 . . . . . . . 8
23 eqid 2435 . . . . . . . . 9
2423fmpt2 6410 . . . . . . . 8
2522, 24sylibr 204 . . . . . . 7
2625r19.21bi 2796 . . . . . 6
2726r19.21bi 2796 . . . . 5
2819, 27ovresd 6206 . . . 4
29283impa 1148 . . 3
3029mpt2eq3dva 6130 . 2
31 cnmpt1ds.d . . . . 5
32 cnmpt1ds.r . . . . 5
338, 31, 9, 32msdcn 18864 . . . 4
345, 33syl 16 . . 3
351, 2, 12, 20, 34cnmpt22f 17699 . 2
3630, 35eqeltrrd 2510 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   cxp 4868   crn 4871   cres 4872  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  cioo 10908  cbs 13461  cds 13530  ctopn 13641  ctg 13657  TopOnctopon 16951  ctps 16953   ccn 17280   ctx 17584  cmt 18340 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-ordt 13717  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-ps 14621  df-tsr 14622  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344
 Copyright terms: Public domain W3C validator