MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2ip Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt2ip 19192
Description: Continuity of inner product; analogue of cnmpt22f 17697 which cannot be used directly because  .i is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1ip.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
cnmpt1ip.c  |-  C  =  ( TopOpen ` fld )
cnmpt1ip.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
cnmpt1ip.r  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
cnmpt1ip.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt2ip.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt2ip.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
cnmpt2ip.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2ip  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .,  B
) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, C    x, J, y    x, K    ph, x, y    x, W, y    x, X, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    ., ( x, y)    K( y)    L( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2ip
StepHypRef Expression
1 cnmpt1ip.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmpt2ip.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
3 txtopon 17613 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
41, 2, 3syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
5 cnmpt1ip.r . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
6 cphngp 19126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )
7 ngptps 18639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  TopSp )
85, 6, 73syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  TopSp )
9 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
10 cnmpt1ip.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
119, 10istps 16991 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W )
) )
128, 11sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W )
) )
13 cnmpt2ip.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
14 cnf2 17303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  W
) )
154, 12, 13, 14syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> ( Base `  W
) )
16 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
1716fmpt2 6410 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  W
)  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  W
) )
1815, 17sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  W ) )
1918r19.21bi 2796 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  W )
)
2019r19.21bi 2796 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  ( Base `  W
) )
21 cnmpt2ip.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
22 cnf2 17303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  W
) )
234, 12, 21, 22syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y ) --> ( Base `  W
) )
24 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )
2524fmpt2 6410 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  W
)  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  W
) )
2623, 25sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  W ) )
2726r19.21bi 2796 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  W )
)
2827r19.21bi 2796 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  B  e.  ( Base `  W
) )
29 cnmpt1ip.h . . . . . 6  |-  .,  =  ( .i `  W )
30 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( .i f `  W )  =  ( .i f `  W )
319, 29, 30ipfval 16870 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Base `  W )  /\  B  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( A ( .i f `  W ) B )  =  ( A  .,  B ) )
3220, 28, 31syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A ( .i f `  W ) B )  =  ( A  .,  B ) )
33323impa 1148 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( A
( .i f `  W ) B )  =  ( A  .,  B ) )
3433mpt2eq3dva 6130 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A ( .i f `  W ) B ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .,  B
) ) )
35 cnmpt1ip.c . . . . 5  |-  C  =  ( TopOpen ` fld )
3630, 10, 35ipcn 19190 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( .i f `  W )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  C ) )
375, 36syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( .i f `  W )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  C ) )
381, 2, 13, 21, 37cnmpt22f 17697 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A ( .i f `  W ) B ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  C
) )
3934, 38eqeltrrd 2510 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .,  B
) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    X. cxp 4868   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   Basecbs 13459   .icip 13524   TopOpenctopn 13639  ℂfldccnfld 16693   .i fcipf 16846  TopOnctopon 16949   TopSpctps 16951    Cn ccn 17278    tX ctx 17582  NrmGrpcngp 18615   CPreHilccph 19119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-mhm 14728  df-submnd 14729  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-mulg 14805  df-subg 14931  df-ghm 14994  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-cring 15654  df-ur 15655  df-oppr 15718  df-dvdsr 15736  df-unit 15737  df-invr 15767  df-dvr 15778  df-rnghom 15809  df-drng 15827  df-subrg 15856  df-staf 15923  df-srng 15924  df-lmod 15942  df-lmhm 16088  df-lvec 16165  df-sra 16234  df-rgmod 16235  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-cnfld 16694  df-phl 16847  df-ipf 16848  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-nm 18620  df-ngp 18621  df-tng 18622  df-nlm 18624  df-clm 19078  df-cph 19121  df-tch 19122
  Copyright terms: Public domain W3C validator