Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2k Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt2k 17712
 Description: The currying of a two-argument function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt2k.j TopOn
cnmpt2k.k TopOn
cnmpt2k.a
Assertion
Ref Expression
cnmpt2k
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem cnmpt2k
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2571 . . . . 5
2 nfcv 2571 . . . . . 6
3 nfmpt22 6133 . . . . . 6
4 nfcv 2571 . . . . . 6
52, 3, 4nfov 6096 . . . . 5
61, 5nfmpt 4289 . . . 4
7 nfcv 2571 . . . 4
8 nfcv 2571 . . . . . . 7
9 nfmpt21 6132 . . . . . . 7
10 nfcv 2571 . . . . . . 7
118, 9, 10nfov 6096 . . . . . 6
12 nfcv 2571 . . . . . 6
13 oveq1 6080 . . . . . 6
1411, 12, 13cbvmpt 4291 . . . . 5
15 oveq2 6081 . . . . . 6
1615mpteq2dv 4288 . . . . 5
1714, 16syl5eq 2479 . . . 4
186, 7, 17cbvmpt 4291 . . 3
19 simpr 448 . . . . . 6
20 simplr 732 . . . . . 6
21 cnmpt2k.k . . . . . . . . . . . 12 TopOn
22 cnmpt2k.j . . . . . . . . . . . 12 TopOn
23 txtopon 17615 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn TopOn
2421, 22, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11 TopOn
25 cnmpt2k.a . . . . . . . . . . . . 13
26 cntop2 17297 . . . . . . . . . . . . 13
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . 12
28 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13
2928toptopon 16990 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
3027, 29sylib 189 . . . . . . . . . . 11 TopOn
3122, 21, 25cnmptcom 17702 . . . . . . . . . . 11
32 cnf2 17305 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
3324, 30, 31, 32syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
34 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
3534fmpt2 6410 . . . . . . . . . 10
3633, 35sylibr 204 . . . . . . . . 9
3736r19.21bi 2796 . . . . . . . 8
3837r19.21bi 2796 . . . . . . 7
3938an32s 780 . . . . . 6
4034ovmpt4g 6188 . . . . . 6
4119, 20, 39, 40syl3anc 1184 . . . . 5
4241mpteq2dva 4287 . . . 4
4342mpteq2dva 4287 . . 3
4418, 43syl5eq 2479 . 2
45 eqid 2435 . . . . 5
4645xkoinjcn 17711 . . . 4 TopOn TopOn
4722, 21, 46syl2anc 643 . . 3
4833feqmptd 5771 . . . 4
4948, 31eqeltrrd 2510 . . 3
50 fveq2 5720 . . . 4
51 df-ov 6076 . . . 4
5250, 51syl6eqr 2485 . . 3
5322, 21, 24, 47, 49, 52cnmptk1 17705 . 2
5444, 53eqeltrrd 2510 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cop 3809  cuni 4007   cmpt 4258   cxp 4868  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  ctop 16950  TopOnctopon 16951   ccn 17280   ctx 17584   cxko 17585 This theorem is referenced by:  xkocnv  17838  xkohmeo  17839 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-xko 17587
 Copyright terms: Public domain W3C validator