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Theorem cnmpt2k 17398
Description: The currying of a two-argument function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt2k.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt2k.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt2k.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2k  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, L    ph, x, y    x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    J( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2k
Dummy variables  w  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2432 . . . . 5  |-  F/_ x Y
2 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ x
v
3 nfmpt22 5931 . . . . . 6  |-  F/_ x
( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
4 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ x w
52, 3, 4nfov 5897 . . . . 5  |-  F/_ x
( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )
61, 5nfmpt 4124 . . . 4  |-  F/_ x
( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
7 nfcv 2432 . . . 4  |-  F/_ w
( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )
8 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ y
v
9 nfmpt21 5930 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
10 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ y
w
118, 9, 10nfov 5897 . . . . . 6  |-  F/_ y
( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )
12 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ v
( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )
13 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( v  =  y  ->  (
v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
1411, 12, 13cbvmpt 4126 . . . . 5  |-  ( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
15 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )
1615mpteq2dv 4123 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
1714, 16syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( w  =  x  ->  (
v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
186, 7, 17cbvmpt 4126 . . 3  |-  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
19 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
20 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  x  e.  X )
21 cnmpt2k.k . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
22 cnmpt2k.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
23 txtopon 17302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( K  tX  J )  e.  (TopOn `  ( Y  X.  X
) ) )
2421, 22, 23syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( Y  X.  X
) ) )
25 cnmpt2k.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
26 cntop2 16987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  ->  L  e.  Top )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
28 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. L  =  U. L
2928toptopon 16687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
3027, 29sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
3122, 21, 25cnmptcom 17388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  L ) )
32 cnf2 16995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( Y  X.  X
) )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  L
) )  ->  (
y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X ) --> U. L )
3324, 30, 31, 32syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X ) --> U. L )
34 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
3534fmpt2 6207 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L  <->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X
) --> U. L )
3633, 35sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L )
3736r19.21bi 2654 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A. x  e.  X  A  e.  U. L )
3837r19.21bi 2654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  U. L )
3938an32s 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  U. L )
4034ovmpt4g 5986 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X  /\  A  e.  U. L )  ->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  =  A )
4119, 20, 39, 40syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  =  A )
4241mpteq2dva 4122 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )
4342mpteq2dva 4122 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )
4418, 43syl5eq 2340 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )
45 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  <. v ,  w >. ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |-> 
<. v ,  w >. ) )
4645xkoinjcn 17397 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  <. v ,  w >. ) )  e.  ( J  Cn  (
( K  tX  J
)  ^ k o  K ) ) )
4722, 21, 46syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |-> 
<. v ,  w >. ) )  e.  ( J  Cn  ( ( K 
tX  J )  ^ k o  K )
) )
4833feqmptd 5591 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( z  e.  ( Y  X.  X )  |->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `  z
) ) )
4948, 31eqeltrrd 2371 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( Y  X.  X ) 
|->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `  z ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  L
) )
50 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( z  =  <. v ,  w >.  ->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `
 z )  =  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `  <. v ,  w >. ) )
51 df-ov 5877 . . . 4  |-  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )  =  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `
 <. v ,  w >. )
5250, 51syl6eqr 2346 . . 3  |-  ( z  =  <. v ,  w >.  ->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `
 z )  =  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
5322, 21, 24, 47, 49, 52cnmptk1 17391 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K ) ) )
5444, 53eqeltrrd 2371 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   <.cop 3656   U.cuni 3843    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    tX ctx 17271    ^ k o cxko 17272
This theorem is referenced by:  xkocnv  17521  xkohmeo  17522
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-xko 17274
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