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Theorem cnmpt2k 17382
Description: The currying of a two-argument function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt2k.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt2k.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt2k.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2k  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, L    ph, x, y    x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    J( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2k
Dummy variables  w  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ x Y
2 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ x
v
3 nfmpt22 5915 . . . . . 6  |-  F/_ x
( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
4 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ x w
52, 3, 4nfov 5881 . . . . 5  |-  F/_ x
( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )
61, 5nfmpt 4108 . . . 4  |-  F/_ x
( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
7 nfcv 2419 . . . 4  |-  F/_ w
( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )
8 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ y
v
9 nfmpt21 5914 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
10 nfcv 2419 . . . . . . 7  |-  F/_ y
w
118, 9, 10nfov 5881 . . . . . 6  |-  F/_ y
( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )
12 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ v
( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )
13 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( v  =  y  ->  (
v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
1411, 12, 13cbvmpt 4110 . . . . 5  |-  ( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
15 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )
1615mpteq2dv 4107 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
1714, 16syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( w  =  x  ->  (
v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
186, 7, 17cbvmpt 4110 . . 3  |-  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
19 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
20 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  x  e.  X )
21 cnmpt2k.k . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
22 cnmpt2k.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
23 txtopon 17286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( K  tX  J )  e.  (TopOn `  ( Y  X.  X
) ) )
2421, 22, 23syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( Y  X.  X
) ) )
25 cnmpt2k.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
26 cntop2 16971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  ->  L  e.  Top )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
28 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. L  =  U. L
2928toptopon 16671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
3027, 29sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
3122, 21, 25cnmptcom 17372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  L ) )
32 cnf2 16979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  tX  J
)  e.  (TopOn `  ( Y  X.  X
) )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  L
) )  ->  (
y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X ) --> U. L )
3324, 30, 31, 32syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X ) --> U. L )
34 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
3534fmpt2 6191 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L  <->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X
) --> U. L )
3633, 35sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L )
3736r19.21bi 2641 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A. x  e.  X  A  e.  U. L )
3837r19.21bi 2641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Y )  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  U. L )
3938an32s 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  U. L )
4034ovmpt4g 5970 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X  /\  A  e.  U. L )  ->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  =  A )
4119, 20, 39, 40syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  =  A )
4241mpteq2dva 4106 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )
4342mpteq2dva 4106 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )
4418, 43syl5eq 2327 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )
45 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  <. v ,  w >. ) )  =  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |-> 
<. v ,  w >. ) )
4645xkoinjcn 17381 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  <. v ,  w >. ) )  e.  ( J  Cn  (
( K  tX  J
)  ^ k o  K ) ) )
4722, 21, 46syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |-> 
<. v ,  w >. ) )  e.  ( J  Cn  ( ( K 
tX  J )  ^ k o  K )
) )
4833feqmptd 5575 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( z  e.  ( Y  X.  X )  |->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `  z
) ) )
4948, 31eqeltrrd 2358 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( Y  X.  X ) 
|->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `  z ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  L
) )
50 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( z  =  <. v ,  w >.  ->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `
 z )  =  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `  <. v ,  w >. ) )
51 df-ov 5861 . . . 4  |-  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )  =  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `
 <. v ,  w >. )
5250, 51syl6eqr 2333 . . 3  |-  ( z  =  <. v ,  w >.  ->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) `
 z )  =  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
5322, 21, 24, 47, 49, 52cnmptk1 17375 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X  |->  ( v  e.  Y  |->  ( v ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K ) ) )
5444, 53eqeltrrd 2358 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   <.cop 3643   U.cuni 3827    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    tX ctx 17255    ^ k o cxko 17256
This theorem is referenced by:  xkocnv  17505  xkohmeo  17506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-xko 17258
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