Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2nd Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt2nd 17701
 Description: The projection onto the second coordinate is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j TopOn
cnmpt21.k TopOn
Assertion
Ref Expression
cnmpt2nd
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem cnmpt2nd
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fo2nd 6367 . . . . . 6
2 fofn 5655 . . . . . 6
31, 2ax-mp 8 . . . . 5
4 ssv 3368 . . . . 5
5 fnssres 5558 . . . . 5
63, 4, 5mp2an 654 . . . 4
7 dffn5 5772 . . . 4
86, 7mpbi 200 . . 3
9 fvres 5745 . . . 4
109mpteq2ia 4291 . . 3
11 vex 2959 . . . . 5
12 vex 2959 . . . . 5
1311, 12op2ndd 6358 . . . 4
1413mpt2mpt 6165 . . 3
158, 10, 143eqtri 2460 . 2
16 cnmpt21.j . . 3 TopOn
17 cnmpt21.k . . 3 TopOn
18 tx2cn 17642 . . 3 TopOn TopOn
1916, 17, 18syl2anc 643 . 2
2015, 19syl5eqelr 2521 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   wss 3320   cmpt 4266   cxp 4876   cres 4880   wfn 5449  wfo 5452  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  c2nd 6348  TopOnctopon 16959   ccn 17288   ctx 17592 This theorem is referenced by:  cnmptcom  17710  xkofvcn  17716  cnmptk2  17718  txhmeo  17835  txswaphmeo  17837  ptunhmeo  17840  xkohmeo  17847  tgpsubcn  18120  istgp2  18121  oppgtmd  18127  prdstmdd  18153  dvrcn  18213  divcn  18898  cnrehmeo  18978  htpycom  19001  htpyco1  19003  htpycc  19005  reparphti  19022  pcohtpylem  19044  pcorevlem  19051  cxpcn  20629  vmcn  22195  dipcn  22219  mndpluscn  24312  cvxscon  24930  cvmlift2lem6  24995 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fo 5460  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-map 7020  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cn 17291  df-tx 17594
 Copyright terms: Public domain W3C validator