Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2pc Unicode version

Theorem cnmpt2pc 18442
 Description: Piecewise definition of a continuous function on a real interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt2pc.r
cnmpt2pc.m t
cnmpt2pc.n t
cnmpt2pc.o t
cnmpt2pc.a
cnmpt2pc.c
cnmpt2pc.b
cnmpt2pc.j TopOn
cnmpt2pc.q
cnmpt2pc.d
cnmpt2pc.e
Assertion
Ref Expression
cnmpt2pc
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem cnmpt2pc
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . 2
2 eqid 2296 . 2
3 cnmpt2pc.a . . . . . 6
4 cnmpt2pc.c . . . . . 6
5 iccssre 10747 . . . . . 6
63, 4, 5syl2anc 642 . . . . 5
7 cnmpt2pc.b . . . . . . . 8
86, 7sseldd 3194 . . . . . . 7
9 icccld 18292 . . . . . . 7
103, 8, 9syl2anc 642 . . . . . 6
11 cnmpt2pc.r . . . . . . 7
1211fveq2i 5544 . . . . . 6
1310, 12syl6eleqr 2387 . . . . 5
14 ssun1 3351 . . . . . 6
15 iccsplit 10784 . . . . . . 7
163, 4, 7, 15syl3anc 1182 . . . . . 6
1714, 16syl5sseqr 3240 . . . . 5
18 uniretop 18287 . . . . . . 7
1911unieqi 3853 . . . . . . 7
2018, 19eqtr4i 2319 . . . . . 6
2120restcldi 16920 . . . . 5 t
226, 13, 17, 21syl3anc 1182 . . . 4 t
23 cnmpt2pc.o . . . . 5 t
2423fveq2i 5544 . . . 4 t
2522, 24syl6eleqr 2387 . . 3
26 cnmpt2pc.j . . . . 5 TopOn
27 toponuni 16681 . . . . 5 TopOn
2826, 27syl 15 . . . 4
29 topontop 16680 . . . . 5 TopOn
30 eqid 2296 . . . . . 6
3130topcld 16788 . . . . 5
3226, 29, 313syl 18 . . . 4
3328, 32eqeltrd 2370 . . 3
34 txcld 17314 . . 3
3525, 33, 34syl2anc 642 . 2
36 icccld 18292 . . . . . . 7
378, 4, 36syl2anc 642 . . . . . 6
3837, 12syl6eleqr 2387 . . . . 5
39 ssun2 3352 . . . . . 6
4039, 16syl5sseqr 3240 . . . . 5
4120restcldi 16920 . . . . 5 t
426, 38, 40, 41syl3anc 1182 . . . 4 t
4342, 24syl6eleqr 2387 . . 3
44 txcld 17314 . . 3
4543, 33, 44syl2anc 642 . 2
4616xpeq1d 4728 . . . 4
47 xpundir 4758 . . . 4
4846, 47syl6eq 2344 . . 3
49 retopon 18288 . . . . . . . 8 TopOn
5011, 49eqeltri 2366 . . . . . . 7 TopOn
51 resttopon 16908 . . . . . . 7 TopOn t TopOn
5250, 6, 51sylancr 644 . . . . . 6 t TopOn
5323, 52syl5eqel 2380 . . . . 5 TopOn
54 txtopon 17302 . . . . 5 TopOn TopOn TopOn
5553, 26, 54syl2anc 642 . . . 4 TopOn
56 toponuni 16681 . . . 4 TopOn
5755, 56syl 15 . . 3
5848, 57eqtr3d 2330 . 2
59 cnmpt2pc.m . . . . . . . . . 10 t
6017, 6sstrd 3202 . . . . . . . . . . 11
61 resttopon 16908 . . . . . . . . . . 11 TopOn t TopOn
6250, 60, 61sylancr 644 . . . . . . . . . 10 t TopOn
6359, 62syl5eqel 2380 . . . . . . . . 9 TopOn
64 txtopon 17302 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn TopOn
6563, 26, 64syl2anc 642 . . . . . . . 8 TopOn
66 cnmpt2pc.d . . . . . . . . . 10
67 cntop2 16987 . . . . . . . . . 10
6866, 67syl 15 . . . . . . . . 9
692toptopon 16687 . . . . . . . . 9 TopOn
7068, 69sylib 188 . . . . . . . 8 TopOn
71 elicc2 10731 . . . . . . . . . . . . . . 15
723, 8, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14
7372biimpa 470 . . . . . . . . . . . . 13
7473simp3d 969 . . . . . . . . . . . 12
75743adant3 975 . . . . . . . . . . 11
76 iftrue 3584 . . . . . . . . . . 11
7775, 76syl 15 . . . . . . . . . 10
7877mpt2eq3dva 5928 . . . . . . . . 9
7978, 66eqeltrd 2370 . . . . . . . 8
80 cnf2 16995 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
8165, 70, 79, 80syl3anc 1182 . . . . . . 7
82 eqid 2296 . . . . . . . 8
8382fmpt2 6207 . . . . . . 7
8481, 83sylibr 203 . . . . . 6
85 cnmpt2pc.n . . . . . . . . . 10 t
8640, 6sstrd 3202 . . . . . . . . . . 11
87 resttopon 16908 . . . . . . . . . . 11 TopOn t TopOn
8850, 86, 87sylancr 644 . . . . . . . . . 10 t TopOn
8985, 88syl5eqel 2380 . . . . . . . . 9 TopOn
90 txtopon 17302 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn TopOn
9189, 26, 90syl2anc 642 . . . . . . . 8 TopOn
92 elicc2 10731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
938, 4, 92syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9493biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9594simp2d 968 . . . . . . . . . . . . . . 15
9695biantrud 493 . . . . . . . . . . . . . 14
9794simp1d 967 . . . . . . . . . . . . . . 15
988adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
9997, 98letri3d 8977 . . . . . . . . . . . . . 14
10096, 99bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . 13
1011003adant3 975 . . . . . . . . . . . 12
102 cnmpt2pc.q . . . . . . . . . . . . . . . . 17
103102ancom2s 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104103ifeq1d 3592 . . . . . . . . . . . . . . 15
105 ifid 3610 . . . . . . . . . . . . . . 15
106104, 105syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . 14
107106expr 598 . . . . . . . . . . . . 13
1081073adant2 974 . . . . . . . . . . . 12
109101, 108sylbid 206 . . . . . . . . . . 11
110 iffalse 3585 . . . . . . . . . . 11
111109, 110pm2.61d1 151 . . . . . . . . . 10
112111mpt2eq3dva 5928 . . . . . . . . 9
113 cnmpt2pc.e . . . . . . . . 9
114112, 113eqeltrd 2370 . . . . . . . 8
115 cnf2 16995 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
11691, 70, 114, 115syl3anc 1182 . . . . . . 7
117 eqid 2296 . . . . . . . 8
118117fmpt2 6207 . . . . . . 7
119116, 118sylibr 203 . . . . . 6
120 ralun 3370 . . . . . 6
12184, 119, 120syl2anc 642 . . . . 5
12216raleqdv 2755 . . . . 5
123121, 122mpbird 223 . . . 4
124 eqid 2296 . . . . 5
125124fmpt2 6207 . . . 4
126123, 125sylib 188 . . 3
12757feq2d 5396 . . 3
128126, 127mpbid 201 . 2
129 ssid 3210 . . . . 5
130 resmpt2 5958 . . . . 5
13117, 129, 130sylancl 643 . . . 4
132131, 79eqeltrd 2370 . . 3
133 retop 18286 . . . . . . . . . 10
13411, 133eqeltri 2366 . . . . . . . . 9
135 ovex 5899 . . . . . . . . 9
136 resttop 16907 . . . . . . . . 9 t
137134, 135, 136mp2an 653 . . . . . . . 8 t
13823, 137eqeltri 2366 . . . . . . 7
139138a1i 10 . . . . . 6
140 ovex 5899 . . . . . . 7
141140a1i 10 . . . . . 6
142 txrest 17341 . . . . . 6 TopOn t t t
143139, 26, 141, 33, 142syl22anc 1183 . . . . 5 t t t
144134a1i 10 . . . . . . . 8
145135a1i 10 . . . . . . . 8
146 restabs 16912 . . . . . . . 8 t t t
147144, 17, 145, 146syl3anc 1182 . . . . . . 7 t t t
14823oveq1i 5884 . . . . . . 7 t t t
149147, 148, 593eqtr4g 2353 . . . . . 6 t
15028oveq2d 5890 . . . . . . 7 t t
15130restid 13354 . . . . . . . 8 TopOn t
15226, 151syl 15 . . . . . . 7 t
153150, 152eqtrd 2328 . . . . . 6 t
154149, 153oveq12d 5892 . . . . 5 t t
155143, 154eqtrd 2328 . . . 4 t
156155oveq1d 5889 . . 3 t
157132, 156eleqtrrd 2373 . 2 t
158 resmpt2 5958 . . . . 5
15940, 129, 158sylancl 643 . . . 4
160159, 114eqeltrd 2370 . . 3
161 ovex 5899 . . . . . . 7
162161a1i 10 . . . . . 6
163 txrest 17341 . . . . . 6 TopOn t t t
164139, 26, 162, 33, 163syl22anc 1183 . . . . 5 t t t
165 restabs 16912 . . . . . . . 8 t t t
166144, 40, 145, 165syl3anc 1182 . . . . . . 7 t t t
16723oveq1i 5884 . . . . . . 7 t t t
168166, 167, 853eqtr4g 2353 . . . . . 6 t
169168, 153oveq12d 5892 . . . . 5 t t
170164, 169eqtrd 2328 . . . 4 t
171170oveq1d 5889 . . 3 t
172160, 171eleqtrrd 2373 . 2 t
1731, 2, 35, 45, 58, 128, 157, 172paste 17038 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  cvv 2801   cun 3163   wss 3165  cif 3578  cuni 3843   class class class wbr 4039   cxp 4703   crn 4706   cres 4707  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  cr 8752   cle 8884  cioo 10672  cicc 10675   ↾t crest 13341  ctg 13358  ctop 16647  TopOnctopon 16648  ccld 16769   ccn 16970   ctx 17271 This theorem is referenced by:  htpycc  18494  pcocn  18531  pcohtpylem  18533  pcopt  18536  pcopt2  18537  pcoass  18538  pcorevlem  18540 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-cn 16973  df-tx 17273
 Copyright terms: Public domain W3C validator