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Theorem cnmpt2plusg 17771
Description: Continuity of the group sum; analogue of cnmpt22f 17369 which cannot be used directly because  +g is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
cnmpt1plusg.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
cnmpt1plusg.g  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
cnmpt1plusg.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt2plusg.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt2plusg.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
cnmpt2plusg.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2plusg  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .+  B
) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, y, G    x, J, y    x, K    ph, x, y    x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    .+ ( x, y)    K( y)    L( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2plusg
StepHypRef Expression
1 cnmpt1plusg.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmpt2plusg.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Y ) )
3 txtopon 17286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
41, 2, 3syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
5 cnmpt1plusg.g . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e. TopMnd )
6 tgpcn.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
7 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
86, 7tmdtopon 17764 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e. TopMnd  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
95, 8syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G )
) )
10 cnmpt2plusg.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
11 cnf2 16979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
124, 9, 10, 11syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> ( Base `  G
) )
13 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
1413fmpt2 6191 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  G
)  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
1512, 14sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  G ) )
1615r19.21bi 2641 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  G )
)
1716r19.21bi 2641 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  ( Base `  G
) )
18173impa 1146 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  A  e.  ( Base `  G )
)
19 cnmpt2plusg.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
20 cnf2 16979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
214, 9, 19, 20syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y ) --> ( Base `  G
) )
22 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )
2322fmpt2 6191 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  G
)  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  G
) )
2421, 23sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  G ) )
2524r19.21bi 2641 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  G )
)
2625r19.21bi 2641 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  B  e.  ( Base `  G
) )
27263impa 1146 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  B  e.  ( Base `  G )
)
28 cnmpt1plusg.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  G )
29 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( + f `  G )  =  ( + f `  G )
307, 28, 29plusfval 14380 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Base `  G )  /\  B  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( A ( + f `  G ) B )  =  ( A  .+  B ) )
3118, 27, 30syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( A
( + f `  G ) B )  =  ( A  .+  B ) )
3231mpt2eq3dva 5912 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A ( + f `  G ) B ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .+  B
) ) )
336, 29tmdcn 17766 . . . 4  |-  ( G  e. TopMnd  ->  ( + f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
345, 33syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( + f `  G )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  J ) )
351, 2, 10, 19, 34cnmpt22f 17369 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A ( + f `  G ) B ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J
) )
3632, 35eqeltrrd 2358 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .+  B
) )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   TopOpenctopn 13326   + fcplusf 14364  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    tX ctx 17255  TopMndctmd 17753
This theorem is referenced by:  tgpsubcn  17773  oppgtmd  17780  prdstmdd  17806  cnmpt2mulr  17865
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-topgen 13344  df-plusf 14368  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-tx 17257  df-tmd 17755
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