Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2plusg Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt2plusg 18110
 Description: Continuity of the group sum; analogue of cnmpt22f 17699 which cannot be used directly because is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpcn.j
cnmpt1plusg.p
cnmpt1plusg.g TopMnd
cnmpt1plusg.k TopOn
cnmpt2plusg.l TopOn
cnmpt2plusg.a
cnmpt2plusg.b
Assertion
Ref Expression
cnmpt2plusg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem cnmpt2plusg
StepHypRef Expression
1 cnmpt1plusg.k . . . . . . . . . 10 TopOn
2 cnmpt2plusg.l . . . . . . . . . 10 TopOn
3 txtopon 17615 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn TopOn
41, 2, 3syl2anc 643 . . . . . . . . 9 TopOn
5 cnmpt1plusg.g . . . . . . . . . 10 TopMnd
6 tgpcn.j . . . . . . . . . . 11
7 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
86, 7tmdtopon 18103 . . . . . . . . . 10 TopMnd TopOn
95, 8syl 16 . . . . . . . . 9 TopOn
10 cnmpt2plusg.a . . . . . . . . 9
11 cnf2 17305 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
124, 9, 10, 11syl3anc 1184 . . . . . . . 8
13 eqid 2435 . . . . . . . . 9
1413fmpt2 6410 . . . . . . . 8
1512, 14sylibr 204 . . . . . . 7
1615r19.21bi 2796 . . . . . 6
1716r19.21bi 2796 . . . . 5
18173impa 1148 . . . 4
19 cnmpt2plusg.b . . . . . . . . 9
20 cnf2 17305 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
214, 9, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . . . 8
22 eqid 2435 . . . . . . . . 9
2322fmpt2 6410 . . . . . . . 8
2421, 23sylibr 204 . . . . . . 7
2524r19.21bi 2796 . . . . . 6
2625r19.21bi 2796 . . . . 5
27263impa 1148 . . . 4
28 cnmpt1plusg.p . . . . 5
29 eqid 2435 . . . . 5
307, 28, 29plusfval 14695 . . . 4
3118, 27, 30syl2anc 643 . . 3
3231mpt2eq3dva 6130 . 2
336, 29tmdcn 18105 . . . 4 TopMnd
345, 33syl 16 . . 3
351, 2, 10, 19, 34cnmpt22f 17699 . 2
3632, 35eqeltrrd 2510 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   cxp 4868  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  cbs 13461   cplusg 13521  ctopn 13641  cplusf 14679  TopOnctopon 16951   ccn 17280   ctx 17584  TopMndctmd 18092 This theorem is referenced by:  tgpsubcn  18112  oppgtmd  18119  prdstmdd  18145  cnmpt2mulr  18204 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012  df-topgen 13659  df-plusf 14683  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cn 17283  df-tx 17586  df-tmd 18094
 Copyright terms: Public domain W3C validator