MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2res Unicode version

Theorem cnmpt2res 17623
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
cnmpt1res.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt1res.5  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
cnmpt2res.7  |-  N  =  ( Mt  W )
cnmpt2res.8  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmpt2res.9  |-  ( ph  ->  W  C_  Z )
cnmpt2res.10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  e.  ( ( J  tX  M
)  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2res  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y ,  y  e.  W  |->  A )  e.  ( ( K  tX  N
)  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, y, W    x, X, y    x, Y, y    x, Z, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    J( x, y)    K( x, y)    L( x, y)    M( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2res
StepHypRef Expression
1 cnmpt2res.10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  e.  ( ( J  tX  M
)  Cn  L ) )
2 cnmpt1res.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
3 cnmpt2res.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  C_  Z )
4 xpss12 4914 . . . . 5  |-  ( ( Y  C_  X  /\  W  C_  Z )  -> 
( Y  X.  W
)  C_  ( X  X.  Z ) )
52, 3, 4syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  W
)  C_  ( X  X.  Z ) )
6 cnmpt1res.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
7 cnmpt2res.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  Z ) )
8 txtopon 17537 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  M  e.  (TopOn `  Z )
)  ->  ( J  tX  M )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Z
) ) )
96, 7, 8syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  tX  M
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Z
) ) )
10 toponuni 16908 . . . . 5  |-  ( ( J  tX  M )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Z ) )  ->  ( X  X.  Z )  =  U. ( J  tX  M ) )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Z
)  =  U. ( J  tX  M ) )
125, 11sseqtrd 3320 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  W
)  C_  U. ( J  tX  M ) )
13 eqid 2380 . . . 4  |-  U. ( J  tX  M )  = 
U. ( J  tX  M )
1413cnrest 17264 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  e.  ( ( J  tX  M
)  Cn  L )  /\  ( Y  X.  W )  C_  U. ( J  tX  M ) )  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  e.  ( ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  Cn  L ) )
151, 12, 14syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  e.  ( ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  Cn  L ) )
16 resmpt2 6100 . . 3  |-  ( ( Y  C_  X  /\  W  C_  Z )  -> 
( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  =  ( x  e.  Y , 
y  e.  W  |->  A ) )
172, 3, 16syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  =  ( x  e.  Y , 
y  e.  W  |->  A ) )
18 topontop 16907 . . . . . 6  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
196, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
20 topontop 16907 . . . . . 6  |-  ( M  e.  (TopOn `  Z
)  ->  M  e.  Top )
217, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
22 toponmax 16909 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
236, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
2423, 2ssexd 4284 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
25 toponmax 16909 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (TopOn `  Z
)  ->  Z  e.  M )
267, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  M )
2726, 3ssexd 4284 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
28 txrest 17577 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  Top )  /\  ( Y  e.  _V  /\  W  e.  _V )
)  ->  ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  =  ( ( Jt  Y )  tX  ( Mt  W ) ) )
2919, 21, 24, 27, 28syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  =  ( ( Jt  Y ) 
tX  ( Mt  W ) ) )
30 cnmpt1res.2 . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  Y )
31 cnmpt2res.7 . . . . 5  |-  N  =  ( Mt  W )
3230, 31oveq12i 6025 . . . 4  |-  ( K 
tX  N )  =  ( ( Jt  Y ) 
tX  ( Mt  W ) )
3329, 32syl6eqr 2430 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  =  ( K  tX  N
) )
3433oveq1d 6028 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( J 
tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  Cn  L )  =  ( ( K  tX  N )  Cn  L
) )
3515, 17, 343eltr3d 2460 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y ,  y  e.  W  |->  A )  e.  ( ( K  tX  N
)  Cn  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892    C_ wss 3256   U.cuni 3950    X. cxp 4809    |` cres 4813   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    e. cmpt2 6015   ↾t crest 13568   Topctop 16874  TopOnctopon 16875    Cn ccn 17203    tX ctx 17506
This theorem is referenced by:  symgtgp  18045  submtmd  18048  iimulcn  18827  cxpcn2  20490  cxpcn3  20492  cvxscon  24702  cvmlift2lem6  24767  cvmlift2lem12  24773
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-fin 7042  df-fi 7344  df-rest 13570  df-topgen 13587  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-cn 17206  df-tx 17508
  Copyright terms: Public domain W3C validator