MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2res Unicode version

Theorem cnmpt2res 17387
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
cnmpt1res.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt1res.5  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
cnmpt2res.7  |-  N  =  ( Mt  W )
cnmpt2res.8  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmpt2res.9  |-  ( ph  ->  W  C_  Z )
cnmpt2res.10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  e.  ( ( J  tX  M
)  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2res  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y ,  y  e.  W  |->  A )  e.  ( ( K  tX  N
)  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, y, W    x, X, y    x, Y, y    x, Z, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    J( x, y)    K( x, y)    L( x, y)    M( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2res
StepHypRef Expression
1 cnmpt1res.5 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
2 cnmpt2res.9 . . 3  |-  ( ph  ->  W  C_  Z )
3 resmpt2 5958 . . 3  |-  ( ( Y  C_  X  /\  W  C_  Z )  -> 
( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  =  ( x  e.  Y , 
y  e.  W  |->  A ) )
41, 2, 3syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  =  ( x  e.  Y , 
y  e.  W  |->  A ) )
5 cnmpt2res.10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  e.  ( ( J  tX  M
)  Cn  L ) )
6 xpss12 4808 . . . . . 6  |-  ( ( Y  C_  X  /\  W  C_  Z )  -> 
( Y  X.  W
)  C_  ( X  X.  Z ) )
71, 2, 6syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  W
)  C_  ( X  X.  Z ) )
8 cnmpt1res.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 cnmpt2res.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  Z ) )
10 txtopon 17302 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  M  e.  (TopOn `  Z )
)  ->  ( J  tX  M )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Z
) ) )
118, 9, 10syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  tX  M
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Z
) ) )
12 toponuni 16681 . . . . . 6  |-  ( ( J  tX  M )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Z ) )  ->  ( X  X.  Z )  =  U. ( J  tX  M ) )
1311, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Z
)  =  U. ( J  tX  M ) )
147, 13sseqtrd 3227 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  W
)  C_  U. ( J  tX  M ) )
15 eqid 2296 . . . . 5  |-  U. ( J  tX  M )  = 
U. ( J  tX  M )
1615cnrest 17029 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  e.  ( ( J  tX  M
)  Cn  L )  /\  ( Y  X.  W )  C_  U. ( J  tX  M ) )  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  e.  ( ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  Cn  L ) )
175, 14, 16syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  e.  ( ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  Cn  L ) )
18 topontop 16680 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
198, 18syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
20 topontop 16680 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (TopOn `  Z
)  ->  M  e.  Top )
219, 20syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
22 toponmax 16682 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
238, 22syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
24 ssexg 4176 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  Y  e.  _V )
251, 23, 24syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
26 toponmax 16682 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  (TopOn `  Z
)  ->  Z  e.  M )
279, 26syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  M )
28 ssexg 4176 . . . . . . 7  |-  ( ( W  C_  Z  /\  Z  e.  M )  ->  W  e.  _V )
292, 27, 28syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
30 txrest 17341 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  Top )  /\  ( Y  e.  _V  /\  W  e.  _V )
)  ->  ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  =  ( ( Jt  Y )  tX  ( Mt  W ) ) )
3119, 21, 25, 29, 30syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  =  ( ( Jt  Y ) 
tX  ( Mt  W ) ) )
32 cnmpt1res.2 . . . . . 6  |-  K  =  ( Jt  Y )
33 cnmpt2res.7 . . . . . 6  |-  N  =  ( Mt  W )
3432, 33oveq12i 5886 . . . . 5  |-  ( K 
tX  N )  =  ( ( Jt  Y ) 
tX  ( Mt  W ) )
3531, 34syl6eqr 2346 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  =  ( K  tX  N
) )
3635oveq1d 5889 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( J 
tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  Cn  L )  =  ( ( K  tX  N )  Cn  L
) )
3717, 36eleqtrd 2372 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  e.  ( ( K  tX  N
)  Cn  L ) )
384, 37eqeltrrd 2371 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y ,  y  e.  W  |->  A )  e.  ( ( K  tX  N
)  Cn  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   U.cuni 3843    X. cxp 4703    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   ↾t crest 13341   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    tX ctx 17271
This theorem is referenced by:  symgtgp  17800  submtmd  17803  iimulcn  18452  cxpcn2  20102  cxpcn3  20104  cvxscon  23789  cvmlift2lem6  23854  cvmlift2lem12  23860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-tx 17273
  Copyright terms: Public domain W3C validator