MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2res Unicode version

Theorem cnmpt2res 17371
Description: The restriction of a continuous function to a subset is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt1res.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
cnmpt1res.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt1res.5  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
cnmpt2res.7  |-  N  =  ( Mt  W )
cnmpt2res.8  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmpt2res.9  |-  ( ph  ->  W  C_  Z )
cnmpt2res.10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  e.  ( ( J  tX  M
)  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2res  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y ,  y  e.  W  |->  A )  e.  ( ( K  tX  N
)  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, y, W    x, X, y    x, Y, y    x, Z, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    J( x, y)    K( x, y)    L( x, y)    M( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2res
StepHypRef Expression
1 cnmpt1res.5 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
2 cnmpt2res.9 . . 3  |-  ( ph  ->  W  C_  Z )
3 resmpt2 5942 . . 3  |-  ( ( Y  C_  X  /\  W  C_  Z )  -> 
( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  =  ( x  e.  Y , 
y  e.  W  |->  A ) )
41, 2, 3syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  =  ( x  e.  Y , 
y  e.  W  |->  A ) )
5 cnmpt2res.10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  e.  ( ( J  tX  M
)  Cn  L ) )
6 xpss12 4792 . . . . . 6  |-  ( ( Y  C_  X  /\  W  C_  Z )  -> 
( Y  X.  W
)  C_  ( X  X.  Z ) )
71, 2, 6syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  W
)  C_  ( X  X.  Z ) )
8 cnmpt1res.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 cnmpt2res.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  Z ) )
10 txtopon 17286 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  M  e.  (TopOn `  Z )
)  ->  ( J  tX  M )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Z
) ) )
118, 9, 10syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  tX  M
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Z
) ) )
12 toponuni 16665 . . . . . 6  |-  ( ( J  tX  M )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Z ) )  ->  ( X  X.  Z )  =  U. ( J  tX  M ) )
1311, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  X.  Z
)  =  U. ( J  tX  M ) )
147, 13sseqtrd 3214 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  X.  W
)  C_  U. ( J  tX  M ) )
15 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. ( J  tX  M )  = 
U. ( J  tX  M )
1615cnrest 17013 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  e.  ( ( J  tX  M
)  Cn  L )  /\  ( Y  X.  W )  C_  U. ( J  tX  M ) )  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  e.  ( ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  Cn  L ) )
175, 14, 16syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  e.  ( ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  Cn  L ) )
18 topontop 16664 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
198, 18syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
20 topontop 16664 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  (TopOn `  Z
)  ->  M  e.  Top )
219, 20syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
22 toponmax 16666 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  J )
238, 22syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  J )
24 ssexg 4160 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  Y  e.  _V )
251, 23, 24syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  _V )
26 toponmax 16666 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  (TopOn `  Z
)  ->  Z  e.  M )
279, 26syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  M )
28 ssexg 4160 . . . . . . 7  |-  ( ( W  C_  Z  /\  Z  e.  M )  ->  W  e.  _V )
292, 27, 28syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  _V )
30 txrest 17325 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  M  e.  Top )  /\  ( Y  e.  _V  /\  W  e.  _V )
)  ->  ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  =  ( ( Jt  Y )  tX  ( Mt  W ) ) )
3119, 21, 25, 29, 30syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  =  ( ( Jt  Y ) 
tX  ( Mt  W ) ) )
32 cnmpt1res.2 . . . . . 6  |-  K  =  ( Jt  Y )
33 cnmpt2res.7 . . . . . 6  |-  N  =  ( Mt  W )
3432, 33oveq12i 5870 . . . . 5  |-  ( K 
tX  N )  =  ( ( Jt  Y ) 
tX  ( Mt  W ) )
3531, 34syl6eqr 2333 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( J  tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  =  ( K  tX  N
) )
3635oveq1d 5873 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( J 
tX  M )t  ( Y  X.  W ) )  Cn  L )  =  ( ( K  tX  N )  Cn  L
) )
3717, 36eleqtrd 2359 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  X ,  y  e.  Z  |->  A )  |`  ( Y  X.  W
) )  e.  ( ( K  tX  N
)  Cn  L ) )
384, 37eqeltrrd 2358 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  Y ,  y  e.  W  |->  A )  e.  ( ( K  tX  N
)  Cn  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   U.cuni 3827    X. cxp 4687    |` cres 4691   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   ↾t crest 13325   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    tX ctx 17255
This theorem is referenced by:  symgtgp  17784  submtmd  17787  iimulcn  18436  cxpcn2  20086  cxpcn3  20088  cvxscon  23774  cvmlift2lem6  23839  cvmlift2lem12  23845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-tx 17257
  Copyright terms: Public domain W3C validator