Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2t Unicode version

Theorem cnmpt2t 17367
 Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmpt21.j TopOn
cnmpt21.k TopOn
cnmpt21.a
cnmpt2t.b
Assertion
Ref Expression
cnmpt2t
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem cnmpt2t
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . . . 7
2 df-ov 5861 . . . . . . 7
31, 2syl6eqr 2333 . . . . . 6
4 fveq2 5525 . . . . . . 7
5 df-ov 5861 . . . . . . 7
64, 5syl6eqr 2333 . . . . . 6
73, 6opeq12d 3804 . . . . 5
87mpt2mpt 5939 . . . 4
9 nfcv 2419 . . . . . . 7
10 nfmpt21 5914 . . . . . . 7
11 nfcv 2419 . . . . . . 7
129, 10, 11nfov 5881 . . . . . 6
13 nfmpt21 5914 . . . . . . 7
149, 13, 11nfov 5881 . . . . . 6
1512, 14nfop 3812 . . . . 5
16 nfcv 2419 . . . . . . 7
17 nfmpt22 5915 . . . . . . 7
18 nfcv 2419 . . . . . . 7
1916, 17, 18nfov 5881 . . . . . 6
20 nfmpt22 5915 . . . . . . 7
2116, 20, 18nfov 5881 . . . . . 6
2219, 21nfop 3812 . . . . 5
23 nfcv 2419 . . . . 5
24 nfcv 2419 . . . . 5
25 oveq12 5867 . . . . . 6
26 oveq12 5867 . . . . . 6
2725, 26opeq12d 3804 . . . . 5
2815, 22, 23, 24, 27cbvmpt2 5925 . . . 4
298, 28eqtri 2303 . . 3
30 cnmpt21.j . . . . 5 TopOn
31 cnmpt21.k . . . . 5 TopOn
32 txtopon 17286 . . . . 5 TopOn TopOn TopOn
3330, 31, 32syl2anc 642 . . . 4 TopOn
34 toponuni 16665 . . . 4 TopOn
35 mpteq1 4100 . . . 4
3633, 34, 353syl 18 . . 3
37 simp2 956 . . . . . 6
38 simp3 957 . . . . . 6
39 cnmpt21.a . . . . . . . . . . . 12
40 cntop2 16971 . . . . . . . . . . . 12
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . 11
42 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12
4342toptopon 16671 . . . . . . . . . . 11 TopOn
4441, 43sylib 188 . . . . . . . . . 10 TopOn
45 cnf2 16979 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
4633, 44, 39, 45syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
47 eqid 2283 . . . . . . . . . 10
4847fmpt2 6191 . . . . . . . . 9
4946, 48sylibr 203 . . . . . . . 8
50 rsp2 2605 . . . . . . . 8
5149, 50syl 15 . . . . . . 7
52513impib 1149 . . . . . 6
5347ovmpt4g 5970 . . . . . 6
5437, 38, 52, 53syl3anc 1182 . . . . 5
55 cnmpt2t.b . . . . . . . . . . . 12
56 cntop2 16971 . . . . . . . . . . . 12
5755, 56syl 15 . . . . . . . . . . 11
58 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12
5958toptopon 16671 . . . . . . . . . . 11 TopOn
6057, 59sylib 188 . . . . . . . . . 10 TopOn
61 cnf2 16979 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
6233, 60, 55, 61syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
63 eqid 2283 . . . . . . . . . 10
6463fmpt2 6191 . . . . . . . . 9
6562, 64sylibr 203 . . . . . . . 8
66 rsp2 2605 . . . . . . . 8
6765, 66syl 15 . . . . . . 7
68673impib 1149 . . . . . 6
6963ovmpt4g 5970 . . . . . 6
7037, 38, 68, 69syl3anc 1182 . . . . 5
7154, 70opeq12d 3804 . . . 4
7271mpt2eq3dva 5912 . . 3
7329, 36, 723eqtr3a 2339 . 2
74 eqid 2283 . . . 4
75 eqid 2283 . . . 4
7674, 75txcnmpt 17318 . . 3
7739, 55, 76syl2anc 642 . 2
7873, 77eqeltrrd 2358 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cop 3643  cuni 3827   cmpt 4077   cxp 4687  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmpt2 5860  ctop 16631  TopOnctopon 16632   ccn 16954   ctx 17255 This theorem is referenced by:  cnmpt22  17368  txhmeo  17494  txswaphmeo  17496  txsconlem  23771 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-tx 17257
 Copyright terms: Public domain W3C validator