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Theorem cnmpt2vsca 18216
Description: Continuity of scalar multiplication; analogue of cnmpt22f 17699 which cannot be used directly because  .s is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tlmtrg.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
cnmpt1vsca.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
cnmpt1vsca.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
cnmpt1vsca.k  |-  K  =  ( TopOpen `  F )
cnmpt1vsca.w  |-  ( ph  ->  W  e. TopMod )
cnmpt1vsca.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt2vsca.m  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt2vsca.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( L  tX  M
)  Cn  K ) )
cnmpt2vsca.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( L  tX  M
)  Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
cnmpt2vsca  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .x.  B
) )  e.  ( ( L  tX  M
)  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, J, y    x, K, y    x, L    ph, x, y    x, W, y    x, X, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x, y)    .x. ( x, y)    L( y)    M( x, y)

Proof of Theorem cnmpt2vsca
StepHypRef Expression
1 cnmpt1vsca.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmpt2vsca.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  Y ) )
3 txtopon 17615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  (TopOn `  X )  /\  M  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( L  tX  M )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
41, 2, 3syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L  tX  M
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
5 cnmpt1vsca.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e. TopMod )
6 tlmtrg.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  (Scalar `  W )
76tlmscatps 18212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e. TopMod  ->  F  e.  TopSp )
85, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  TopSp )
9 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  F )  =  (
Base `  F )
10 cnmpt1vsca.k . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( TopOpen `  F )
119, 10istps 16993 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  TopSp 
<->  K  e.  (TopOn `  ( Base `  F )
) )
128, 11sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  ( Base `  F )
) )
13 cnmpt2vsca.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( L  tX  M
)  Cn  K ) )
14 cnf2 17305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  tX  M
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  K  e.  (TopOn `  ( Base `  F ) )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( L  tX  M
)  Cn  K ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  F
) )
154, 12, 13, 14syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> ( Base `  F
) )
16 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
1716fmpt2 6410 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  F
)  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  F
) )
1815, 17sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  F ) )
1918r19.21bi 2796 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  ( Base `  F )
)
2019r19.21bi 2796 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  ( Base `  F
) )
21 tlmtps 18209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e. TopMod  ->  W  e.  TopSp )
225, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  W  e.  TopSp )
23 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
24 cnmpt1vsca.j . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
2523, 24istps 16993 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W )
) )
2622, 25sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W )
) )
27 cnmpt2vsca.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( L  tX  M
)  Cn  J ) )
28 cnf2 17305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  tX  M
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  J  e.  (TopOn `  ( Base `  W ) )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  e.  ( ( L  tX  M
)  Cn  J ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  W
) )
294, 26, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y ) --> ( Base `  W
) )
30 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B )
3130fmpt2 6410 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  W
)  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  B ) : ( X  X.  Y
) --> ( Base `  W
) )
3229, 31sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  W ) )
3332r19.21bi 2796 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  B  e.  ( Base `  W )
)
3433r19.21bi 2796 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  B  e.  ( Base `  W
) )
35 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( .s f `  W )  =  ( .s f `  W )
36 cnmpt1vsca.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  W )
3723, 6, 9, 35, 36scafval 15961 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Base `  F )  /\  B  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( A ( .s f `  W ) B )  =  ( A  .x.  B ) )
3820, 34, 37syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  ( A ( .s f `  W ) B )  =  ( A  .x.  B ) )
39383impa 1148 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( A
( .s f `  W ) B )  =  ( A  .x.  B ) )
4039mpt2eq3dva 6130 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A ( .s f `  W ) B ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .x.  B
) ) )
4135, 24, 6, 10vscacn 18207 . . . 4  |-  ( W  e. TopMod  ->  ( .s f `  W )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )
425, 41syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( .s f `  W )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )
431, 2, 13, 27, 42cnmpt22f 17699 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A ( .s f `  W ) B ) )  e.  ( ( L  tX  M )  Cn  J
) )
4440, 43eqeltrrd 2510 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( A  .x.  B
) )  e.  ( ( L  tX  M
)  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    X. cxp 4868   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   Basecbs 13461  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   TopOpenctopn 13641   .s fcscaf 15943  TopOnctopon 16951   TopSpctps 16953    Cn ccn 17280    tX ctx 17584  TopModctlm 18179
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012  df-slot 13465  df-base 13466  df-topgen 13659  df-scaf 15945  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cn 17283  df-tx 17586  df-tmd 18094  df-tgp 18095  df-trg 18181  df-tlm 18183
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