Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmpt2vsca Structured version   Unicode version

Theorem cnmpt2vsca 18216
 Description: Continuity of scalar multiplication; analogue of cnmpt22f 17699 which cannot be used directly because is not a function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tlmtrg.f Scalar
cnmpt1vsca.t
cnmpt1vsca.j
cnmpt1vsca.k
cnmpt1vsca.w TopMod
cnmpt1vsca.l TopOn
cnmpt2vsca.m TopOn
cnmpt2vsca.a
cnmpt2vsca.b
Assertion
Ref Expression
cnmpt2vsca
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   ()   (,)

Proof of Theorem cnmpt2vsca
StepHypRef Expression
1 cnmpt1vsca.l . . . . . . . . . 10 TopOn
2 cnmpt2vsca.m . . . . . . . . . 10 TopOn
3 txtopon 17615 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn TopOn
41, 2, 3syl2anc 643 . . . . . . . . 9 TopOn
5 cnmpt1vsca.w . . . . . . . . . . 11 TopMod
6 tlmtrg.f . . . . . . . . . . . 12 Scalar
76tlmscatps 18212 . . . . . . . . . . 11 TopMod
85, 7syl 16 . . . . . . . . . 10
9 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
10 cnmpt1vsca.k . . . . . . . . . . 11
119, 10istps 16993 . . . . . . . . . 10 TopOn
128, 11sylib 189 . . . . . . . . 9 TopOn
13 cnmpt2vsca.a . . . . . . . . 9
14 cnf2 17305 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
154, 12, 13, 14syl3anc 1184 . . . . . . . 8
16 eqid 2435 . . . . . . . . 9
1716fmpt2 6410 . . . . . . . 8
1815, 17sylibr 204 . . . . . . 7
1918r19.21bi 2796 . . . . . 6
2019r19.21bi 2796 . . . . 5
21 tlmtps 18209 . . . . . . . . . . 11 TopMod
225, 21syl 16 . . . . . . . . . 10
23 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
24 cnmpt1vsca.j . . . . . . . . . . 11
2523, 24istps 16993 . . . . . . . . . 10 TopOn
2622, 25sylib 189 . . . . . . . . 9 TopOn
27 cnmpt2vsca.b . . . . . . . . 9
28 cnf2 17305 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
294, 26, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . . . 8
30 eqid 2435 . . . . . . . . 9
3130fmpt2 6410 . . . . . . . 8
3229, 31sylibr 204 . . . . . . 7
3332r19.21bi 2796 . . . . . 6
3433r19.21bi 2796 . . . . 5
35 eqid 2435 . . . . . 6
36 cnmpt1vsca.t . . . . . 6
3723, 6, 9, 35, 36scafval 15961 . . . . 5
3820, 34, 37syl2anc 643 . . . 4
39383impa 1148 . . 3
4039mpt2eq3dva 6130 . 2
4135, 24, 6, 10vscacn 18207 . . . 4 TopMod
425, 41syl 16 . . 3
431, 2, 13, 27, 42cnmpt22f 17699 . 2
4440, 43eqeltrrd 2510 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   cxp 4868  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  cbs 13461  Scalarcsca 13524  cvsca 13525  ctopn 13641  cscaf 15943  TopOnctopon 16951  ctps 16953   ccn 17280   ctx 17584  TopModctlm 18179 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012  df-slot 13465  df-base 13466  df-topgen 13659  df-scaf 15945  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cn 17283  df-tx 17586  df-tmd 18094  df-tgp 18095  df-trg 18181  df-tlm 18183
 Copyright terms: Public domain W3C validator