MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptc Unicode version

Theorem cnmptc 17372
Description: A constant function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptc.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptc.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
cnmptc  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  P )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, J    x, X    x, Y    x, K    x, P

Proof of Theorem cnmptc
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 4748 . 2  |-  ( X  X.  { P }
)  =  ( x  e.  X  |->  P )
2 cnmptid.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 cnmptc.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
4 cnmptc.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
5 cnconst2 17027 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  Y
)  ->  ( X  X.  { P } )  e.  ( J  Cn  K ) )
62, 3, 4, 5syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  X.  { P } )  e.  ( J  Cn  K ) )
71, 6syl5eqelr 2381 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  P )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   {csn 3653    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970
This theorem is referenced by:  cnmpt2c  17380  xkoinjcn  17397  txcon  17399  istgp2  17790  tmdmulg  17791  tmdgsum  17794  tmdlactcn  17801  clsnsg  17808  tgpt0  17817  tlmtgp  17894  nmcn  18365  fsumcn  18390  expcn  18392  divccn  18393  cncfmptc  18431  cdivcncf  18436  iirevcn  18444  iihalf1cn  18446  iihalf2cn  18448  icchmeo  18455  evth  18473  evth2  18474  pcocn  18531  pcopt  18536  pcopt2  18537  pcoass  18538  csscld  18692  clsocv  18693  dvcnvlem  19339  plycn  19658  psercn2  19815  resqrcn  20105  sqrcn  20106  atansopn  20244  efrlim  20280  ipasslem7  21430  occllem  21898  rmulccn  23316  txsconlem  23786  cvxpcon  23788  cvmlift2lem2  23850  cvmlift2lem3  23851  cvmliftphtlem  23863  sinccvglem  24020  areacirclem4  25030
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-topgen 13360  df-top 16652  df-topon 16655  df-cn 16973  df-cnp 16974
  Copyright terms: Public domain W3C validator