MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptc Unicode version

Theorem cnmptc 17615
Description: A constant function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptc.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptc.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
cnmptc  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  P )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, J    x, X    x, Y    x, K    x, P

Proof of Theorem cnmptc
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 4861 . 2  |-  ( X  X.  { P }
)  =  ( x  e.  X  |->  P )
2 cnmptid.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 cnmptc.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
4 cnmptc.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Y )
5 cnconst2 17269 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  P  e.  Y
)  ->  ( X  X.  { P } )  e.  ( J  Cn  K ) )
62, 3, 4, 5syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  X.  { P } )  e.  ( J  Cn  K ) )
71, 6syl5eqelr 2472 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  P )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717   {csn 3757    e. cmpt 4207    X. cxp 4816   ` cfv 5394  (class class class)co 6020  TopOnctopon 16882    Cn ccn 17210
This theorem is referenced by:  cnmpt2c  17623  xkoinjcn  17640  txcon  17642  imasnopn  17643  imasncld  17644  imasncls  17645  istgp2  18042  tmdmulg  18043  tmdgsum  18046  tmdlactcn  18053  clsnsg  18060  tgpt0  18069  tlmtgp  18146  nmcn  18746  fsumcn  18771  expcn  18773  divccn  18774  cncfmptc  18812  cdivcncf  18818  iirevcn  18826  iihalf1cn  18828  iihalf2cn  18830  icchmeo  18837  evth  18855  evth2  18856  pcocn  18913  pcopt  18918  pcopt2  18919  pcoass  18920  csscld  19074  clsocv  19075  dvcnvlem  19727  plycn  20046  psercn2  20206  resqrcn  20500  sqrcn  20501  atansopn  20639  efrlim  20675  ipasslem7  22185  occllem  22653  rmulccn  24118  txsconlem  24706  cvxpcon  24708  cvmlift2lem2  24770  cvmlift2lem3  24771  cvmliftphtlem  24783  sinccvglem  24888  areacirclem4  25984
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-map 6956  df-topgen 13594  df-top 16886  df-topon 16889  df-cn 17213  df-cnp 17214
  Copyright terms: Public domain W3C validator