Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptcom Structured version   Unicode version

Theorem cnmptcom 17710
 Description: The argument converse of a continuous function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptcom.3 TopOn
cnmptcom.4 TopOn
cnmptcom.6
Assertion
Ref Expression
cnmptcom
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem cnmptcom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptcom.3 . . . . . . . . 9 TopOn
2 cnmptcom.4 . . . . . . . . 9 TopOn
3 txtopon 17623 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn TopOn
41, 2, 3syl2anc 643 . . . . . . . 8 TopOn
5 cnmptcom.6 . . . . . . . . . 10
6 cntop2 17305 . . . . . . . . . 10
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9
8 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
98toptopon 16998 . . . . . . . . 9 TopOn
107, 9sylib 189 . . . . . . . 8 TopOn
11 cnf2 17313 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
124, 10, 5, 11syl3anc 1184 . . . . . . 7
13 eqid 2436 . . . . . . . . 9
1413fmpt2 6418 . . . . . . . 8
15 ralcom 2868 . . . . . . . 8
1614, 15bitr3i 243 . . . . . . 7
1712, 16sylib 189 . . . . . 6
18 eqid 2436 . . . . . . 7
1918fmpt2 6418 . . . . . 6
2017, 19sylib 189 . . . . 5
21 ffn 5591 . . . . 5
2220, 21syl 16 . . . 4
23 fnov 6178 . . . 4
2422, 23sylib 189 . . 3
25 nfcv 2572 . . . . . . 7
26 nfcv 2572 . . . . . . 7
27 nfcv 2572 . . . . . . 7
28 nfv 1629 . . . . . . . 8
29 nfcv 2572 . . . . . . . . . 10
30 nfmpt22 6141 . . . . . . . . . 10
3129, 30, 25nfov 6104 . . . . . . . . 9
32 nfmpt21 6140 . . . . . . . . . 10
3325, 32, 29nfov 6104 . . . . . . . . 9
3431, 33nfeq 2579 . . . . . . . 8
3528, 34nfim 1832 . . . . . . 7
36 nfv 1629 . . . . . . . 8
37 nfmpt21 6140 . . . . . . . . . 10
3827, 37, 26nfov 6104 . . . . . . . . 9
39 nfmpt22 6141 . . . . . . . . . 10
4026, 39, 27nfov 6104 . . . . . . . . 9
4138, 40nfeq 2579 . . . . . . . 8
4236, 41nfim 1832 . . . . . . 7
43 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
44 oveq1 6088 . . . . . . . . 9
4543, 44eqeq12d 2450 . . . . . . . 8
4645imbi2d 308 . . . . . . 7
47 oveq1 6088 . . . . . . . . 9
48 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
4947, 48eqeq12d 2450 . . . . . . . 8
5049imbi2d 308 . . . . . . 7
51 rsp2 2768 . . . . . . . . . 10
5217, 51syl 16 . . . . . . . . 9
5352com12 29 . . . . . . . 8
5413ovmpt4g 6196 . . . . . . . . . . 11
55543com12 1157 . . . . . . . . . 10
5618ovmpt4g 6196 . . . . . . . . . 10
5755, 56eqtr4d 2471 . . . . . . . . 9
58573expia 1155 . . . . . . . 8
5953, 58syld 42 . . . . . . 7
6025, 26, 27, 35, 42, 46, 50, 59vtocl2gaf 3018 . . . . . 6
6160com12 29 . . . . 5
62613impib 1151 . . . 4
6362mpt2eq3dva 6138 . . 3
6424, 63eqtr4d 2471 . 2
652, 1cnmpt2nd 17701 . . 3
662, 1cnmpt1st 17700 . . 3
672, 1, 65, 66, 5cnmpt22f 17707 . 2
6864, 67eqeltrd 2510 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2705  cuni 4015   cxp 4876   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cmpt2 6083  ctop 16958  TopOnctopon 16959   ccn 17288   ctx 17592 This theorem is referenced by:  cnmpt2k  17720  htpycc  19005 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fo 5460  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-map 7020  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cn 17291  df-tx 17594
 Copyright terms: Public domain W3C validator