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Theorem cnmptcom 17710
Description: The argument converse of a continuous function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptcom.3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptcom.4  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptcom.6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptcom  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, y, L    x, X, y    ph, x, y    x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)    J( x, y)    K( x, y)

Proof of Theorem cnmptcom
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptcom.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmptcom.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 txtopon 17623 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
41, 2, 3syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
5 cnmptcom.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
6 cntop2 17305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  ->  L  e.  Top )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
8 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  U. L  =  U. L
98toptopon 16998 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
107, 9sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
11 cnf2 17313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> U. L )
124, 10, 5, 11syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> U. L )
13 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
1413fmpt2 6418 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  U. L  <->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y
) --> U. L )
15 ralcom 2868 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  Y  A  e.  U. L  <->  A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L )
1614, 15bitr3i 243 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) : ( X  X.  Y ) --> U. L  <->  A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L )
1712, 16sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L )
18 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
1918fmpt2 6418 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L  <->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X
) --> U. L )
2017, 19sylib 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X ) --> U. L )
21 ffn 5591 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) : ( Y  X.  X ) --> U. L  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  Fn  ( Y  X.  X
) )
2220, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  Fn  ( Y  X.  X ) )
23 fnov 6178 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  Fn  ( Y  X.  X )  <->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )
2422, 23sylib 189 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )
25 nfcv 2572 . . . . . . 7  |-  F/_ y
z
26 nfcv 2572 . . . . . . 7  |-  F/_ x
z
27 nfcv 2572 . . . . . . 7  |-  F/_ x w
28 nfv 1629 . . . . . . . 8  |-  F/ y
ph
29 nfcv 2572 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
x
30 nfmpt22 6141 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
3129, 30, 25nfov 6104 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )
32 nfmpt21 6140 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
3325, 32, 29nfov 6104 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )
3431, 33nfeq 2579 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )
3528, 34nfim 1832 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ph  ->  (
x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )
36 nfv 1629 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
37 nfmpt21 6140 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )
3827, 37, 26nfov 6104 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )
39 nfmpt22 6141 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )
4026, 39, 27nfov 6104 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )
4138, 40nfeq 2579 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w )
4236, 41nfim 1832 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  ->  ( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
43 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z ) )
44 oveq1 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )
4543, 44eqeq12d 2450 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  <->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
4645imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
( ph  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )  <-> 
( ph  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) ) )
47 oveq1 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z ) )
48 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
4947, 48eqeq12d 2450 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  (
( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  <->  ( w ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )
5049imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( x  =  w  ->  (
( ph  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )  <-> 
( ph  ->  ( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) ) )
51 rsp2 2768 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  Y  A. x  e.  X  A  e.  U. L  ->  (
( y  e.  Y  /\  x  e.  X
)  ->  A  e.  U. L ) )
5217, 51syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  U. L ) )
5352com12 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X )  ->  ( ph  ->  A  e.  U. L ) )
5413ovmpt4g 6196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  A  e.  U. L )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
55543com12 1157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X  /\  A  e.  U. L )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) y )  =  A )
5618ovmpt4g 6196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X  /\  A  e.  U. L )  ->  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x )  =  A )
5755, 56eqtr4d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X  /\  A  e.  U. L )  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) )
58573expia 1155 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X )  ->  ( A  e.  U. L  ->  ( x ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
5953, 58syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X )  ->  ( ph  ->  (
x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) y )  =  ( y ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) x ) ) )
6025, 26, 27, 35, 42, 46, 50, 59vtocl2gaf 3018 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  Y  /\  w  e.  X )  ->  ( ph  ->  (
w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )
6160com12 29 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  Y  /\  w  e.  X )  ->  (
w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )
62613impib 1151 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  Y  /\  w  e.  X
)  ->  ( w
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z )  =  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) )
6362mpt2eq3dva 6138 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  ( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z ) )  =  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  ( z ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A ) w ) ) )
6424, 63eqtr4d 2471 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  =  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  ( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z ) ) )
652, 1cnmpt2nd 17701 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  w )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )
662, 1cnmpt1st 17700 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  z )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  K ) )
672, 1, 65, 66, 5cnmpt22f 17707 . 2  |-  ( ph  ->  ( z  e.  Y ,  w  e.  X  |->  ( w ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) z ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  L
) )
6864, 67eqeltrd 2510 1  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  A )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   U.cuni 4015    X. cxp 4876    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   Topctop 16958  TopOnctopon 16959    Cn ccn 17288    tX ctx 17592
This theorem is referenced by:  cnmpt2k  17720  htpycc  19005
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fo 5460  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-map 7020  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cn 17291  df-tx 17594
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