MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptid Unicode version

Theorem cnmptid 17355
Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptid  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, J    x, X

Proof of Theorem cnmptid
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 equcom 1647 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
21opabbii 4083 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  x  =  y }  =  { <. x ,  y
>.  |  y  =  x }
3 dfid3 4310 . . . . 5  |-  _I  =  { <. x ,  y
>.  |  x  =  y }
4 mptv 4112 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  |->  x )  =  { <. x ,  y >.  |  y  =  x }
52, 3, 43eqtr4i 2313 . . . 4  |-  _I  =  ( x  e.  _V  |->  x )
65reseq1i 4951 . . 3  |-  (  _I  |`  X )  =  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )
7 ssv 3198 . . . 4  |-  X  C_  _V
8 resmpt 5000 . . . 4  |-  ( X 
C_  _V  ->  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x ) )
97, 8ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x )
106, 9eqtri 2303 . 2  |-  (  _I  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x )
11 cnmptid.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
12 idcn 16987 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
1311, 12syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
1410, 13syl5eqelr 2368 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   {copab 4076    e. cmpt 4077    _I cid 4304    |` cres 4691   ` cfv 5255  (class class class)co 5858  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954
This theorem is referenced by:  xkoinjcn  17381  txcon  17383  pt1hmeo  17497  istgp2  17774  tmdmulg  17775  tmdlactcn  17785  clsnsg  17792  tgpt0  17801  tlmtgp  17878  nmcn  18349  expcn  18376  divccn  18377  cncfmptid  18416  cdivcncf  18420  iirevcn  18428  iihalf1cn  18430  iihalf2cn  18432  icchmeo  18439  evth2  18458  pcocn  18515  pcopt  18520  pcopt2  18521  pcoass  18522  csscld  18676  clsocv  18677  dvcnvlem  19323  resqrcn  20089  sqrcn  20090  efrlim  20264  ipasslem7  21414  occllem  21882  hmopidmchi  22731  rmulccn  23301  cvxpcon  23773  cvmlift2lem2  23835  cvmlift2lem3  23836  cvmliftphtlem  23848
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-top 16636  df-topon 16639  df-cn 16957
  Copyright terms: Public domain W3C validator