MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptid Unicode version

Theorem cnmptid 17371
Description: The identity function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptid  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, J    x, X

Proof of Theorem cnmptid
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 equcom 1665 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
21opabbii 4099 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  x  =  y }  =  { <. x ,  y
>.  |  y  =  x }
3 dfid3 4326 . . . . 5  |-  _I  =  { <. x ,  y
>.  |  x  =  y }
4 mptv 4128 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  |->  x )  =  { <. x ,  y >.  |  y  =  x }
52, 3, 43eqtr4i 2326 . . . 4  |-  _I  =  ( x  e.  _V  |->  x )
65reseq1i 4967 . . 3  |-  (  _I  |`  X )  =  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )
7 ssv 3211 . . . 4  |-  X  C_  _V
8 resmpt 5016 . . . 4  |-  ( X 
C_  _V  ->  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x ) )
97, 8ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( x  e.  _V  |->  x )  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x )
106, 9eqtri 2316 . 2  |-  (  _I  |`  X )  =  ( x  e.  X  |->  x )
11 cnmptid.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
12 idcn 17003 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
1311, 12syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
1410, 13syl5eqelr 2381 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   {copab 4092    e. cmpt 4093    _I cid 4320    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970
This theorem is referenced by:  xkoinjcn  17397  txcon  17399  pt1hmeo  17513  istgp2  17790  tmdmulg  17791  tmdlactcn  17801  clsnsg  17808  tgpt0  17817  tlmtgp  17894  nmcn  18365  expcn  18392  divccn  18393  cncfmptid  18432  cdivcncf  18436  iirevcn  18444  iihalf1cn  18446  iihalf2cn  18448  icchmeo  18455  evth2  18474  pcocn  18531  pcopt  18536  pcopt2  18537  pcoass  18538  csscld  18692  clsocv  18693  dvcnvlem  19339  resqrcn  20105  sqrcn  20106  efrlim  20280  ipasslem7  21430  occllem  21898  hmopidmchi  22747  rmulccn  23316  cvxpcon  23788  cvmlift2lem2  23850  cvmlift2lem3  23851  cvmliftphtlem  23863
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-top 16652  df-topon 16655  df-cn 16973
  Copyright terms: Public domain W3C validator