Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptk1 Structured version   Unicode version

Theorem cnmptk1 17714
 Description: The composition of a curried function with a one-arg function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j TopOn
cnmptk1.k TopOn
cnmptk1.l TopOn
cnmptk1.a
cnmptk1.b
cnmptk1.c
Assertion
Ref Expression
cnmptk1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   (,)   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem cnmptk1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptk1.k . . . . . . 7 TopOn
21adantr 453 . . . . . 6 TopOn
3 cnmptk1.l . . . . . . 7 TopOn
43adantr 453 . . . . . 6 TopOn
5 cnmptk1.j . . . . . . . . 9 TopOn
6 topontop 16992 . . . . . . . . . . 11 TopOn
71, 6syl 16 . . . . . . . . . 10
8 topontop 16992 . . . . . . . . . . 11 TopOn
93, 8syl 16 . . . . . . . . . 10
10 eqid 2437 . . . . . . . . . . 11
1110xkotopon 17633 . . . . . . . . . 10 TopOn
127, 9, 11syl2anc 644 . . . . . . . . 9 TopOn
13 cnmptk1.a . . . . . . . . 9
14 cnf2 17314 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
155, 12, 13, 14syl3anc 1185 . . . . . . . 8
16 eqid 2437 . . . . . . . . 9
1716fmpt 5891 . . . . . . . 8
1815, 17sylibr 205 . . . . . . 7
1918r19.21bi 2805 . . . . . 6
20 cnf2 17314 . . . . . 6 TopOn TopOn
212, 4, 19, 20syl3anc 1185 . . . . 5
22 eqid 2437 . . . . . 6
2322fmpt 5891 . . . . 5
2421, 23sylibr 205 . . . 4
25 eqidd 2438 . . . 4
26 eqidd 2438 . . . 4
27 cnmptk1.c . . . 4
2824, 25, 26, 27fmptcof 5903 . . 3
2928mpteq2dva 4296 . 2
30 cnmptk1.b . . . 4
317, 30xkoco2cn 17691 . . 3
32 coeq2 5032 . . 3
335, 13, 12, 31, 32cnmpt11 17696 . 2
3429, 33eqeltrrd 2512 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2706   cmpt 4267   ccom 4883  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082  ctop 16959  TopOnctopon 16960   ccn 17289   cxko 17594 This theorem is referenced by:  cnmpt2k  17721 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-fin 7114  df-fi 7417  df-rest 13651  df-topgen 13668  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-cn 17292  df-cmp 17451  df-xko 17596
 Copyright terms: Public domain W3C validator