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Theorem cnmptk1p 17678
Description: The evaluation of a curried function by a one-arg function is jointly continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1p.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptk1p.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptk1p.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmptk1p.n  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
cnmptk1p.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
cnmptk1p.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
cnmptk1p.c  |-  ( y  =  B  ->  A  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmptk1p  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  e.  ( J  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, K    x, L    y, B    y, C    x, y, X    x, Y, y    ph, x, y    y, Z
Allowed substitution hints:    A( x, y)    B( x)    C( x)    J( y)    K( y)    L( y)    Z( x)

Proof of Theorem cnmptk1p
Dummy variables  f 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptk1p.j . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmptk1p.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 cnmptk1p.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )
4 cnf2 17275 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Y )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Y )
6 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
76fmpt 5857 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  Y  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Y )
85, 7sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  Y )
98r19.21bi 2772 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  Y )
102adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
11 cnmptk1p.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
1211adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  Z )
)
13 cnmptk1p.n . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
14 nllytop 17497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  K  e.  Top )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
16 topontop 16954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  (TopOn `  Z
)  ->  L  e.  Top )
1711, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
18 eqid 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  ^ k o  K
)  =  ( L  ^ k o  K
)
1918xkotopon 17593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ k o  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
2015, 17, 19syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L  ^ k o  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
21 cnmptk1p.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
22 cnf2 17275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ k o  K
)  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
231, 20, 21, 22syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
24 eqid 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
2524fmpt 5857 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
2623, 25sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
2726r19.21bi 2772 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
28 cnf2 17275 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
2910, 12, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
30 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A )
3130fmpt 5857 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  Y  A  e.  Z  <->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
3229, 31sylibr 204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  Z )
33 cnmptk1p.c . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  A  =  C )
3433eleq1d 2478 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( A  e.  Z  <->  C  e.  Z ) )
3534rspcv 3016 . . . . 5  |-  ( B  e.  Y  ->  ( A. y  e.  Y  A  e.  Z  ->  C  e.  Z ) )
369, 32, 35sylc 58 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  Z )
3733, 30fvmptg 5771 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  Z )  ->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B )  =  C )
389, 36, 37syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |->  A ) `  B
)  =  C )
3938mpteq2dva 4263 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
40 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( K  Cn  L )  =  ( K  Cn  L
)
41 toponuni 16955 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
422, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  U. K
)
43 mpt2eq12 6101 . . . . 5  |-  ( ( ( K  Cn  L
)  =  ( K  Cn  L )  /\  Y  =  U. K )  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L
) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z ) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) ) )
4440, 42, 43sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z
) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z
) ) )
45 eqid 2412 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
46 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )
4745, 46xkofvcn 17677 . . . . 5  |-  ( ( K  e. 𝑛Locally  Comp  /\  L  e.  Top )  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  e.  ( ( ( L  ^ k o  K )  tX  K
)  Cn  L ) )
4813, 17, 47syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  e.  ( ( ( L  ^ k o  K
)  tX  K )  Cn  L ) )
4944, 48eqeltrd 2486 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z
) )  e.  ( ( ( L  ^ k o  K )  tX  K )  Cn  L
) )
50 fveq1 5694 . . . 4  |-  ( f  =  ( y  e.  Y  |->  A )  -> 
( f `  z
)  =  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  z ) )
51 fveq2 5695 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  (
( y  e.  Y  |->  A ) `  z
)  =  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )
5250, 51sylan9eq 2464 . . 3  |-  ( ( f  =  ( y  e.  Y  |->  A )  /\  z  =  B )  ->  ( f `  z )  =  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B
) )
531, 21, 3, 20, 2, 49, 52cnmpt12 17660 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )  e.  ( J  Cn  L
) )
5439, 53eqeltrrd 2487 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  e.  ( J  Cn  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   U.cuni 3983    e. cmpt 4234   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    e. cmpt2 6050   Topctop 16921  TopOnctopon 16922    Cn ccn 17250   Compccmp 17411  𝑛Locally cnlly 17489    tX ctx 17553    ^ k o cxko 17554
This theorem is referenced by:  xkohmeo  17808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-rest 13613  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-ntr 17047  df-nei 17125  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-cmp 17412  df-nlly 17491  df-tx 17555  df-xko 17556
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