Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptk1p Structured version   Unicode version

Theorem cnmptk1p 17722
 Description: The evaluation of a curried function by a one-arg function is jointly continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1p.j TopOn
cnmptk1p.k TopOn
cnmptk1p.l TopOn
cnmptk1p.n 𝑛Locally
cnmptk1p.a
cnmptk1p.b
cnmptk1p.c
Assertion
Ref Expression
cnmptk1p
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem cnmptk1p
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptk1p.j . . . . . . 7 TopOn
2 cnmptk1p.k . . . . . . 7 TopOn
3 cnmptk1p.b . . . . . . 7
4 cnf2 17318 . . . . . . 7 TopOn TopOn
51, 2, 3, 4syl3anc 1185 . . . . . 6
6 eqid 2438 . . . . . . 7
76fmpt 5893 . . . . . 6
85, 7sylibr 205 . . . . 5
98r19.21bi 2806 . . . 4
102adantr 453 . . . . . . 7 TopOn
11 cnmptk1p.l . . . . . . . 8 TopOn
1211adantr 453 . . . . . . 7 TopOn
13 cnmptk1p.n . . . . . . . . . . . 12 𝑛Locally
14 nllytop 17541 . . . . . . . . . . . 12 𝑛Locally
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11
16 topontop 16996 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
1711, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11
18 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12
1918xkotopon 17637 . . . . . . . . . . 11 TopOn
2015, 17, 19syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 TopOn
21 cnmptk1p.a . . . . . . . . . 10
22 cnf2 17318 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
231, 20, 21, 22syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
24 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
2524fmpt 5893 . . . . . . . . 9
2623, 25sylibr 205 . . . . . . . 8
2726r19.21bi 2806 . . . . . . 7
28 cnf2 17318 . . . . . . 7 TopOn TopOn
2910, 12, 27, 28syl3anc 1185 . . . . . 6
30 eqid 2438 . . . . . . 7
3130fmpt 5893 . . . . . 6
3229, 31sylibr 205 . . . . 5
33 cnmptk1p.c . . . . . . 7
3433eleq1d 2504 . . . . . 6
3534rspcv 3050 . . . . 5
369, 32, 35sylc 59 . . . 4
3733, 30fvmptg 5807 . . . 4
389, 36, 37syl2anc 644 . . 3
3938mpteq2dva 4298 . 2
40 eqid 2438 . . . . 5
41 toponuni 16997 . . . . . 6 TopOn
422, 41syl 16 . . . . 5
43 mpt2eq12 6137 . . . . 5
4440, 42, 43sylancr 646 . . . 4
45 eqid 2438 . . . . . 6
46 eqid 2438 . . . . . 6
4745, 46xkofvcn 17721 . . . . 5 𝑛Locally
4813, 17, 47syl2anc 644 . . . 4
4944, 48eqeltrd 2512 . . 3
50 fveq1 5730 . . . 4
51 fveq2 5731 . . . 4
5250, 51sylan9eq 2490 . . 3
531, 21, 3, 20, 2, 49, 52cnmpt12 17704 . 2
5439, 53eqeltrrd 2513 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cuni 4017   cmpt 4269  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cmpt2 6086  ctop 16963  TopOnctopon 16964   ccn 17293  ccmp 17454  𝑛Locally cnlly 17533   ctx 17597   cxko 17598 This theorem is referenced by:  xkohmeo  17852 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-ntr 17089  df-nei 17167  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-cmp 17455  df-nlly 17535  df-tx 17599  df-xko 17600
 Copyright terms: Public domain W3C validator