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Theorem cnmptk2 17720
Description: The uncurrying of a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1p.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptk1p.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptk1p.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmptk1p.n  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
cnmptk2.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptk2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, K    x, L    x, y, X    x, Y, y    ph, x, y    y, Z
Allowed substitution hints:    A( x, y)    J( y)    K( y)    L( y)    Z( x)

Proof of Theorem cnmptk2
Dummy variables  f 
k  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nffvmpt1 5738 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w )
2 nfcv 2574 . . . . 5  |-  F/_ x
k
31, 2nffv 5737 . . . 4  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k )
4 nfcv 2574 . . . . . . 7  |-  F/_ y X
5 nfmpt1 4300 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( y  e.  Y  |->  A )
64, 5nfmpt 4299 . . . . . 6  |-  F/_ y
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
7 nfcv 2574 . . . . . 6  |-  F/_ y
w
86, 7nffv 5737 . . . . 5  |-  F/_ y
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w )
9 nfcv 2574 . . . . 5  |-  F/_ y
k
108, 9nffv 5737 . . . 4  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k )
11 nfcv 2574 . . . 4  |-  F/_ w
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y )
12 nfcv 2574 . . . 4  |-  F/_ k
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y )
13 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) )
1413fveq1d 5732 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  k )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  k ) )
15 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( k  =  y  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  k )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y ) )
1614, 15sylan9eq 2490 . . . 4  |-  ( ( w  =  x  /\  k  =  y )  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y ) )
173, 10, 11, 12, 16cbvmpt2 6153 . . 3  |-  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `  k
) )  =  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y ) )
18 simplr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  x  e.  X )
19 cnmptk1p.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
20 cnmptk1p.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
21 nllytop 17538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  K  e.  Top )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
23 cnmptk1p.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
24 topontop 16993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  e.  (TopOn `  Z
)  ->  L  e.  Top )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
26 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  ^ k o  K
)  =  ( L  ^ k o  K
)
2726xkotopon 17634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ k o  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
2822, 25, 27syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  ^ k o  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
29 cnmptk2.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
30 cnf2 17315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ k o  K
)  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
3119, 28, 29, 30syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
32 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
3332fmpt 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  X  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
3431, 33sylibr 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
3534r19.21bi 2806 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
3635adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
3732fvmpt2 5814 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x
)  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )
3818, 36, 37syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x )  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )
3938fveq1d 5732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y )  =  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  y
) )
40 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
41 cnmptk1p.k . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
4241adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
4323adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  Z )
)
44 cnf2 17315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
4542, 43, 35, 44syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
46 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A )
4746fmpt 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  Y  A  e.  Z  <->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
4845, 47sylibr 205 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  Z )
4948r19.21bi 2806 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  Z )
5046fvmpt2 5814 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Y  /\  A  e.  Z )  ->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  y )  =  A )
5140, 49, 50syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( y  e.  Y  |->  A ) `  y
)  =  A )
5239, 51eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y )  =  A )
53523impa 1149 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `  y
)  =  A )
5453mpt2eq3dva 6140 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
5517, 54syl5eq 2482 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
5619, 41cnmpt1st 17702 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  w )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J ) )
5719, 41, 56, 29cnmpt21f 17706 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  ( L  ^ k o  K ) ) )
5819, 41cnmpt2nd 17703 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  k )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  K ) )
59 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( K  Cn  L )  =  ( K  Cn  L
)
60 toponuni 16994 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
6141, 60syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  U. K
)
62 mpt2eq12 6136 . . . . 5  |-  ( ( ( K  Cn  L
)  =  ( K  Cn  L )  /\  Y  =  U. K )  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L
) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z ) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) ) )
6359, 61, 62sylancr 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z
) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z
) ) )
64 eqid 2438 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
65 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )
6664, 65xkofvcn 17718 . . . . 5  |-  ( ( K  e. 𝑛Locally  Comp  /\  L  e.  Top )  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  e.  ( ( ( L  ^ k o  K )  tX  K
)  Cn  L ) )
6720, 25, 66syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  e.  ( ( ( L  ^ k o  K
)  tX  K )  Cn  L ) )
6863, 67eqeltrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z
) )  e.  ( ( ( L  ^ k o  K )  tX  K )  Cn  L
) )
69 fveq1 5729 . . . 4  |-  ( f  =  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  ->  ( f `  z )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  z ) )
70 fveq2 5730 . . . 4  |-  ( z  =  k  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  z )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  k ) )
7169, 70sylan9eq 2490 . . 3  |-  ( ( f  =  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
)  /\  z  =  k )  ->  (
f `  z )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
) `  k )
)
7219, 41, 57, 58, 28, 41, 68, 71cnmpt22 17708 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  L ) )
7355, 72eqeltrrd 2513 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   U.cuni 4017    e. cmpt 4268   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   Topctop 16960  TopOnctopon 16961    Cn ccn 17290   Compccmp 17451  𝑛Locally cnlly 17530    tX ctx 17594    ^ k o cxko 17595
This theorem is referenced by:  xkocnv  17848
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-ntr 17086  df-nei 17164  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-cmp 17452  df-nlly 17532  df-tx 17596  df-xko 17597
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