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Theorem cnmptk2 17396
Description: The uncurrying of a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1p.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptk1p.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptk1p.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmptk1p.n  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
cnmptk2.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptk2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, K    x, L    x, y, X    x, Y, y    ph, x, y    y, Z
Allowed substitution hints:    A( x, y)    J( y)    K( y)    L( y)    Z( x)

Proof of Theorem cnmptk2
Dummy variables  f 
k  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 4125 . . . . . 6  |-  F/_ x
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
2 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ x w
31, 2nffv 5548 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w )
4 nfcv 2432 . . . . 5  |-  F/_ x
k
53, 4nffv 5548 . . . 4  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k )
6 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ y X
7 nfmpt1 4125 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( y  e.  Y  |->  A )
86, 7nfmpt 4124 . . . . . 6  |-  F/_ y
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
9 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ y
w
108, 9nffv 5548 . . . . 5  |-  F/_ y
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w )
11 nfcv 2432 . . . . 5  |-  F/_ y
k
1210, 11nffv 5548 . . . 4  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k )
13 nfcv 2432 . . . 4  |-  F/_ w
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y )
14 nfcv 2432 . . . 4  |-  F/_ k
( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y )
15 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) )
1615fveq1d 5543 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  k )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  k ) )
17 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( k  =  y  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  k )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y ) )
1816, 17sylan9eq 2348 . . . 4  |-  ( ( w  =  x  /\  k  =  y )  ->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y ) )
195, 12, 13, 14, 18cbvmpt2 5941 . . 3  |-  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `  k
) )  =  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y ) )
20 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  x  e.  X )
21 cnmptk1p.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
22 cnmptk1p.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
23 nllytop 17215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  K  e.  Top )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
25 cnmptk1p.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
26 topontop 16680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  e.  (TopOn `  Z
)  ->  L  e.  Top )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
28 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  ^ k o  K
)  =  ( L  ^ k o  K
)
2928xkotopon 17311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ k o  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
3024, 27, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  ^ k o  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
31 cnmptk2.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
32 cnf2 16995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ k o  K
)  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
3321, 30, 31, 32syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
34 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
3534fmpt 5697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  X  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
3633, 35sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
3736r19.21bi 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
3837adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
3934fvmpt2 5624 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x
)  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )
4020, 38, 39syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x )  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )
4140fveq1d 5543 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y )  =  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  y
) )
42 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  Y )
43 cnmptk1p.k . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
4443adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
4525adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  Z )
)
46 cnf2 16995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
4744, 45, 37, 46syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
48 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A )
4948fmpt 5697 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  Y  A  e.  Z  <->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
5047, 49sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  Z )
5150r19.21bi 2654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  Z )
5248fvmpt2 5624 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Y  /\  A  e.  Z )  ->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  y )  =  A )
5342, 51, 52syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( y  e.  Y  |->  A ) `  y
)  =  A )
5441, 53eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  X )  /\  y  e.  Y )  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 x ) `  y )  =  A )
55543impa 1146 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `  y
)  =  A )
5655mpt2eq3dva 5928 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  x ) `
 y ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
5719, 56syl5eq 2340 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A ) )
5821, 43cnmpt1st 17378 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  w )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J ) )
5921, 43, 58, 31cnmpt21f 17382 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  ( L  ^ k o  K ) ) )
6021, 43cnmpt2nd 17379 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  k )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  K ) )
61 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( K  Cn  L )  =  ( K  Cn  L
)
62 toponuni 16681 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
6343, 62syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  U. K
)
64 mpt2eq12 5924 . . . . 5  |-  ( ( ( K  Cn  L
)  =  ( K  Cn  L )  /\  Y  =  U. K )  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L
) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z ) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) ) )
6561, 63, 64sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z
) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z
) ) )
66 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. K  =  U. K
67 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  =  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )
6866, 67xkofvcn 17394 . . . . 5  |-  ( ( K  e. 𝑛Locally  Comp  /\  L  e.  Top )  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  e.  ( ( ( L  ^ k o  K )  tX  K
)  Cn  L ) )
6922, 27, 68syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  U. K  |->  ( f `  z ) )  e.  ( ( ( L  ^ k o  K
)  tX  K )  Cn  L ) )
7065, 69eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( K  Cn  L ) ,  z  e.  Y  |->  ( f `  z
) )  e.  ( ( ( L  ^ k o  K )  tX  K )  Cn  L
) )
71 fveq1 5540 . . . 4  |-  ( f  =  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w )  ->  ( f `  z )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  z ) )
72 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( z  =  k  ->  (
( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  z )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `
 w ) `  k ) )
7371, 72sylan9eq 2348 . . 3  |-  ( ( f  =  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
)  /\  z  =  k )  ->  (
f `  z )  =  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w
) `  k )
)
7421, 43, 59, 60, 30, 43, 70, 73cnmpt22 17384 . 2  |-  ( ph  ->  ( w  e.  X ,  k  e.  Y  |->  ( ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) `  w ) `
 k ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  L ) )
7557, 74eqeltrrd 2371 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  A )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970   Compccmp 17129  𝑛Locally cnlly 17207    tX ctx 17271    ^ k o cxko 17272
This theorem is referenced by:  xkocnv  17521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-nlly 17209  df-tx 17273  df-xko 17274
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