MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptkc Unicode version

Theorem cnmptkc 17389
Description: The curried first projection function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptk1.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptkc  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  x ) )  e.  ( J  Cn  ( J  ^ k o  K
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    ph, x, y    x, X, y    x, Y, y

Proof of Theorem cnmptkc
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 4748 . . 3  |-  ( Y  X.  { x }
)  =  ( y  e.  Y  |->  x )
21mpteq2i 4119 . 2  |-  ( x  e.  X  |->  ( Y  X.  { x }
) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  x ) )
3 cnmptk1.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
4 cnmptk1.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5 xkoccn 17329 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( x  e.  X  |->  ( Y  X.  { x }
) )  e.  ( J  Cn  ( J  ^ k o  K
) ) )
63, 4, 5syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( Y  X.  {
x } ) )  e.  ( J  Cn  ( J  ^ k o  K ) ) )
72, 6syl5eqelr 2381 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  x ) )  e.  ( J  Cn  ( J  ^ k o  K
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696   {csn 3653    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   ` cfv 5271  (class class class)co 5874  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    ^ k o cxko 17272
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-cmp 17130  df-xko 17274
  Copyright terms: Public domain W3C validator