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Theorem cnmptkk 17377
Description: The composition of two curried functions is jointly continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptkk.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptkk.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptkk.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmptkk.m  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  W ) )
cnmptkk.n  |-  ( ph  ->  L  e. 𝑛Locally  Comp )
cnmptkk.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
cnmptkk.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( z  e.  Z  |->  B ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ k o  L
) ) )
cnmptkk.c  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmptkk  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ k o  K
) ) )
Distinct variable groups:    z, A    y, B    x, K    x, L    x, y, X    x, J    x, M    ph, x, y   
y, Y    y, z, Z    z, C
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( x, y)    B( x, z)    C( x, y)    J( y, z)    K( y, z)    L( y, z)    M( y, z)    W( x, y, z)    X( z)    Y( x, z)    Z( x)

Proof of Theorem cnmptkk
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptkk.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
21adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
3 cnmptkk.l . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
43adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  Z )
)
5 cnmptkk.j . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
6 topontop 16664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
71, 6syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
8 cnmptkk.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e. 𝑛Locally  Comp )
9 nllytop 17199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  L  e.  Top )
108, 9syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
11 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  ^ k o  K
)  =  ( L  ^ k o  K
)
1211xkotopon 17295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ k o  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
137, 10, 12syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L  ^ k o  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
14 cnmptkk.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
15 cnf2 16979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ k o  K
)  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
165, 13, 14, 15syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
17 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
1817fmpt 5681 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  X  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
1916, 18sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
2019r19.21bi 2641 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
21 cnf2 16979 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
222, 4, 20, 21syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
23 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A )
2423fmpt 5681 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  Y  A  e.  Z  <->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> Z )
2522, 24sylibr 203 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  Z )
26 eqidd 2284 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )
27 eqidd 2284 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
z  e.  Z  |->  B )  =  ( z  e.  Z  |->  B ) )
28 cnmptkk.c . . . 4  |-  ( z  =  A  ->  B  =  C )
2925, 26, 27, 28fmptcof 5692 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( y  e.  Y  |->  C ) )
3029mpteq2dva 4106 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) ) )
31 cnmptkk.b . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( z  e.  Z  |->  B ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ k o  L
) ) )
32 cnmptkk.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  W ) )
33 topontop 16664 . . . . 5  |-  ( M  e.  (TopOn `  W
)  ->  M  e.  Top )
3432, 33syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
35 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( M  ^ k o  L
)  =  ( M  ^ k o  L
)
3635xkotopon 17295 . . . 4  |-  ( ( L  e.  Top  /\  M  e.  Top )  ->  ( M  ^ k o  L )  e.  (TopOn `  ( L  Cn  M
) ) )
3710, 34, 36syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  ^ k o  L )  e.  (TopOn `  ( L  Cn  M
) ) )
38 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( L  Cn  M ) ,  g  e.  ( K  Cn  L )  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( f  e.  ( L  Cn  M
) ,  g  e.  ( K  Cn  L
)  |->  ( f  o.  g ) )
3938xkococn 17354 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e. 𝑛Locally  Comp  /\  M  e.  Top )  ->  ( f  e.  ( L  Cn  M ) ,  g  e.  ( K  Cn  L )  |->  ( f  o.  g ) )  e.  ( ( ( M  ^ k o  L )  tX  ( L  ^ k o  K
) )  Cn  ( M  ^ k o  K
) ) )
407, 8, 34, 39syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( L  Cn  M ) ,  g  e.  ( K  Cn  L ) 
|->  ( f  o.  g
) )  e.  ( ( ( M  ^ k o  L )  tX  ( L  ^ k o  K ) )  Cn  ( M  ^ k o  K ) ) )
41 coeq1 4841 . . . 4  |-  ( f  =  ( z  e.  Z  |->  B )  -> 
( f  o.  g
)  =  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  g ) )
42 coeq2 4842 . . . 4  |-  ( g  =  ( y  e.  Y  |->  A )  -> 
( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  g )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  (
y  e.  Y  |->  A ) ) )
4341, 42sylan9eq 2335 . . 3  |-  ( ( f  =  ( z  e.  Z  |->  B )  /\  g  =  ( y  e.  Y  |->  A ) )  ->  (
f  o.  g )  =  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )
445, 31, 14, 37, 13, 40, 43cnmpt12 17361 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( z  e.  Z  |->  B )  o.  ( y  e.  Y  |->  A ) ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ k o  K ) ) )
4530, 44eqeltrrd 2358 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  C ) )  e.  ( J  Cn  ( M  ^ k o  K
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    e. cmpt 4077    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954   Compccmp 17113  𝑛Locally cnlly 17191    tX ctx 17255    ^ k o cxko 17256
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-cn 16957  df-cmp 17114  df-nlly 17193  df-tx 17257  df-xko 17258
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