Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptkp Structured version   Unicode version

Theorem cnmptkp 17702
 Description: The evaluation of the inner function in a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j TopOn
cnmptk1.k TopOn
cnmptk1.l TopOn
cnmptkp.a
cnmptkp.b
cnmptkp.c
Assertion
Ref Expression
cnmptkp
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem cnmptkp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptkp.b . . . . 5
21adantr 452 . . . 4
3 cnmptk1.k . . . . . . . 8 TopOn
43adantr 452 . . . . . . 7 TopOn
5 cnmptk1.l . . . . . . . . . 10 TopOn
6 topontop 16981 . . . . . . . . . 10 TopOn
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9
87adantr 452 . . . . . . . 8
9 eqid 2435 . . . . . . . . 9
109toptopon 16988 . . . . . . . 8 TopOn
118, 10sylib 189 . . . . . . 7 TopOn
12 cnmptk1.j . . . . . . . . . 10 TopOn
13 topontop 16981 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
143, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11
15 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12
1615xkotopon 17622 . . . . . . . . . . 11 TopOn
1714, 7, 16syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 TopOn
18 cnmptkp.a . . . . . . . . . 10
19 cnf2 17303 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
2012, 17, 18, 19syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
21 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
2221fmpt 5882 . . . . . . . . 9
2320, 22sylibr 204 . . . . . . . 8
2423r19.21bi 2796 . . . . . . 7
25 cnf2 17303 . . . . . . 7 TopOn TopOn
264, 11, 24, 25syl3anc 1184 . . . . . 6
27 eqid 2435 . . . . . . 7
2827fmpt 5882 . . . . . 6
2926, 28sylibr 204 . . . . 5
30 cnmptkp.c . . . . . . 7
3130eleq1d 2501 . . . . . 6
3231rspcv 3040 . . . . 5
332, 29, 32sylc 58 . . . 4
3430, 27fvmptg 5796 . . . 4
352, 33, 34syl2anc 643 . . 3
3635mpteq2dva 4287 . 2
37 toponuni 16982 . . . . . 6 TopOn
383, 37syl 16 . . . . 5
391, 38eleqtrd 2511 . . . 4
40 eqid 2435 . . . . 5
4140xkopjcn 17678 . . . 4
4214, 7, 39, 41syl3anc 1184 . . 3
43 fveq1 5719 . . 3
4412, 18, 17, 42, 43cnmpt11 17685 . 2
4536, 44eqeltrrd 2510 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  cuni 4007   cmpt 4258  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  ctop 16948  TopOnctopon 16949   ccn 17278   cxko 17583 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13640  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-cn 17281  df-cmp 17440  df-xko 17585
 Copyright terms: Public domain W3C validator