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Theorem cnmptkp 17702
Description: The evaluation of the inner function in a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptk1.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptk1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmptkp.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
cnmptkp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
cnmptkp.c  |-  ( y  =  B  ->  A  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmptkp  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  e.  ( J  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, L, y    x, Z, y   
x, B    ph, x, y   
x, X, y    x, Y, y    y, B    y, C
Allowed substitution hints:    A( x, y)    C( x)

Proof of Theorem cnmptkp
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptkp.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  Y )
3 cnmptk1.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
43adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
5 cnmptk1.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
6 topontop 16981 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  (TopOn `  Z
)  ->  L  e.  Top )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
87adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  Top )
9 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  U. L  =  U. L
109toptopon 16988 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
118, 10sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
12 cnmptk1.j . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
13 topontop 16981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
143, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
15 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  ^ k o  K
)  =  ( L  ^ k o  K
)
1615xkotopon 17622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ k o  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
1714, 7, 16syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L  ^ k o  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
18 cnmptkp.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
19 cnf2 17303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ k o  K
)  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
2012, 17, 18, 19syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
21 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
2221fmpt 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
2320, 22sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
2423r19.21bi 2796 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
25 cnf2 17303 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L
) )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> U. L
)
264, 11, 24, 25syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> U. L
)
27 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A )
2827fmpt 5882 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  Y  A  e.  U. L  <->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> U. L
)
2926, 28sylibr 204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  U. L )
30 cnmptkp.c . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  A  =  C )
3130eleq1d 2501 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( A  e.  U. L  <->  C  e.  U. L ) )
3231rspcv 3040 . . . . 5  |-  ( B  e.  Y  ->  ( A. y  e.  Y  A  e.  U. L  ->  C  e.  U. L ) )
332, 29, 32sylc 58 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  U. L )
3430, 27fvmptg 5796 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  U. L )  ->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `
 B )  =  C )
352, 33, 34syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |->  A ) `  B
)  =  C )
3635mpteq2dva 4287 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
37 toponuni 16982 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
383, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  U. K
)
391, 38eleqtrd 2511 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  U. K
)
40 eqid 2435 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
4140xkopjcn 17678 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top  /\  B  e.  U. K )  -> 
( w  e.  ( K  Cn  L ) 
|->  ( w `  B
) )  e.  ( ( L  ^ k o  K )  Cn  L
) )
4214, 7, 39, 41syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( K  Cn  L ) 
|->  ( w `  B
) )  e.  ( ( L  ^ k o  K )  Cn  L
) )
43 fveq1 5719 . . 3  |-  ( w  =  ( y  e.  Y  |->  A )  -> 
( w `  B
)  =  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )
4412, 18, 17, 42, 43cnmpt11 17685 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )  e.  ( J  Cn  L
) )
4536, 44eqeltrrd 2510 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  e.  ( J  Cn  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   U.cuni 4007    e. cmpt 4258   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Topctop 16948  TopOnctopon 16949    Cn ccn 17278    ^ k o cxko 17583
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13640  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-cn 17281  df-cmp 17440  df-xko 17585
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