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Theorem cnmptkp 17374
Description: The evaluation of the inner function in a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptk1.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptk1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmptkp.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
cnmptkp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
cnmptkp.c  |-  ( y  =  B  ->  A  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmptkp  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  e.  ( J  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, L, y    x, Z, y   
x, B    ph, x, y   
x, X, y    x, Y, y    y, B    y, C
Allowed substitution hints:    A( x, y)    C( x)

Proof of Theorem cnmptkp
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptkp.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
21adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  Y )
3 cnmptk1.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
43adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
5 cnmptk1.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
6 topontop 16664 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  (TopOn `  Z
)  ->  L  e.  Top )
75, 6syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
87adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  Top )
9 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  U. L  =  U. L
109toptopon 16671 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
118, 10sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
12 cnmptk1.j . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
13 topontop 16664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
143, 13syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
15 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  ^ k o  K
)  =  ( L  ^ k o  K
)
1615xkotopon 17295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ k o  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
1714, 7, 16syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L  ^ k o  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
18 cnmptkp.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
19 cnf2 16979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ k o  K
)  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
2012, 17, 18, 19syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
21 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
2221fmpt 5681 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
2320, 22sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
2423r19.21bi 2641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
25 cnf2 16979 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L
) )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> U. L
)
264, 11, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> U. L
)
27 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A )
2827fmpt 5681 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  Y  A  e.  U. L  <->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> U. L
)
2926, 28sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  U. L )
30 cnmptkp.c . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  A  =  C )
3130eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( A  e.  U. L  <->  C  e.  U. L ) )
3231rspcv 2880 . . . . 5  |-  ( B  e.  Y  ->  ( A. y  e.  Y  A  e.  U. L  ->  C  e.  U. L ) )
332, 29, 32sylc 56 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  U. L )
3430, 27fvmptg 5600 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  U. L )  ->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `
 B )  =  C )
352, 33, 34syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |->  A ) `  B
)  =  C )
3635mpteq2dva 4106 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
37 toponuni 16665 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
383, 37syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  U. K
)
391, 38eleqtrd 2359 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  U. K
)
40 eqid 2283 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
4140xkopjcn 17350 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top  /\  B  e.  U. K )  -> 
( w  e.  ( K  Cn  L ) 
|->  ( w `  B
) )  e.  ( ( L  ^ k o  K )  Cn  L
) )
4214, 7, 39, 41syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( K  Cn  L ) 
|->  ( w `  B
) )  e.  ( ( L  ^ k o  K )  Cn  L
) )
43 fveq1 5524 . . 3  |-  ( w  =  ( y  e.  Y  |->  A )  -> 
( w `  B
)  =  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )
4412, 18, 17, 42, 43cnmpt11 17357 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )  e.  ( J  Cn  L
) )
4536, 44eqeltrrd 2358 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  e.  ( J  Cn  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954    ^ k o cxko 17256
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-cmp 17114  df-xko 17258
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