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Theorem cnmptkp 17626
Description: The evaluation of the inner function in a curried function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptk1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmptk1.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmptk1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmptkp.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
cnmptkp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
cnmptkp.c  |-  ( y  =  B  ->  A  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmptkp  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  e.  ( J  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, K, y    x, L, y    x, Z, y   
x, B    ph, x, y   
x, X, y    x, Y, y    y, B    y, C
Allowed substitution hints:    A( x, y)    C( x)

Proof of Theorem cnmptkp
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmptkp.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  Y )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  Y )
3 cnmptk1.k . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
43adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
5 cnmptk1.l . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
6 topontop 16907 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  (TopOn `  Z
)  ->  L  e.  Top )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
87adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  Top )
9 eqid 2380 . . . . . . . . 9  |-  U. L  =  U. L
109toptopon 16914 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
118, 10sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
12 cnmptk1.j . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
13 topontop 16907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
143, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
15 eqid 2380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  ^ k o  K
)  =  ( L  ^ k o  K
)
1615xkotopon 17546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ k o  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
1714, 7, 16syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L  ^ k o  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
18 cnmptkp.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )
19 cnf2 17228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ k o  K
)  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ k o  K
) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
2012, 17, 18, 19syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
21 eqid 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) )
2221fmpt 5822 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  X  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L )  <->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  A ) ) : X --> ( K  Cn  L ) )
2320, 22sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
2423r19.21bi 2740 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L ) )
25 cnf2 17228 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  L
) )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> U. L
)
264, 11, 24, 25syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  A ) : Y --> U. L
)
27 eqid 2380 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Y  |->  A )  =  ( y  e.  Y  |->  A )
2827fmpt 5822 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  Y  A  e.  U. L  <->  ( y  e.  Y  |->  A ) : Y --> U. L
)
2926, 28sylibr 204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  A  e.  U. L )
30 cnmptkp.c . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  A  =  C )
3130eleq1d 2446 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( A  e.  U. L  <->  C  e.  U. L ) )
3231rspcv 2984 . . . . 5  |-  ( B  e.  Y  ->  ( A. y  e.  Y  A  e.  U. L  ->  C  e.  U. L ) )
332, 29, 32sylc 58 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  U. L )
3430, 27fvmptg 5736 . . . 4  |-  ( ( B  e.  Y  /\  C  e.  U. L )  ->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `
 B )  =  C )
352, 33, 34syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |->  A ) `  B
)  =  C )
3635mpteq2dva 4229 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
37 toponuni 16908 . . . . . 6  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
383, 37syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  =  U. K
)
391, 38eleqtrd 2456 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  U. K
)
40 eqid 2380 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
4140xkopjcn 17602 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top  /\  B  e.  U. K )  -> 
( w  e.  ( K  Cn  L ) 
|->  ( w `  B
) )  e.  ( ( L  ^ k o  K )  Cn  L
) )
4214, 7, 39, 41syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( K  Cn  L ) 
|->  ( w `  B
) )  e.  ( ( L  ^ k o  K )  Cn  L
) )
43 fveq1 5660 . . 3  |-  ( w  =  ( y  e.  Y  |->  A )  -> 
( w `  B
)  =  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )
4412, 18, 17, 42, 43cnmpt11 17609 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( ( y  e.  Y  |->  A ) `  B ) )  e.  ( J  Cn  L
) )
4536, 44eqeltrrd 2455 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  e.  ( J  Cn  L ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   U.cuni 3950    e. cmpt 4200   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Topctop 16874  TopOnctopon 16875    Cn ccn 17203    ^ k o cxko 17507
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-rest 13570  df-topgen 13587  df-pt 13588  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-cn 17206  df-cmp 17365  df-xko 17509
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