MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptlimc Unicode version

Theorem cnmptlimc 19738
Description: If  F is a continuous function, then the limit of the function at any point equals its value. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptlimc.f  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  X )  e.  ( A -cn-> D ) )
cnmptlimc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
cnmptlimc.1  |-  ( x  =  B  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
cnmptlimc  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( x  e.  A  |->  X ) lim CC  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, Y
Allowed substitution hints:    ph( x)    X( x)

Proof of Theorem cnmptlimc
StepHypRef Expression
1 cnmptlimc.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
2 cnmptlimc.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  X )  e.  ( A -cn-> D ) )
3 cncff 18884 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  X )  e.  ( A
-cn-> D )  ->  (
x  e.  A  |->  X ) : A --> D )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  X ) : A --> D )
5 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  X )  =  ( x  e.  A  |->  X )
65fmpt 5857 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  X  e.  D  <->  ( x  e.  A  |->  X ) : A --> D )
74, 6sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  X  e.  D )
8 cnmptlimc.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  X  =  Y )
98eleq1d 2478 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( X  e.  D  <->  Y  e.  D ) )
109rspcv 3016 . . . 4  |-  ( B  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  X  e.  D  ->  Y  e.  D ) )
111, 7, 10sylc 58 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
128, 5fvmptg 5771 . . 3  |-  ( ( B  e.  A  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( x  e.  A  |->  X ) `  B )  =  Y )
131, 11, 12syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  X ) `  B )  =  Y )
142, 1cnlimci 19737 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  X ) `  B )  e.  ( ( x  e.  A  |->  X ) lim CC  B
) )
1513, 14eqeltrrd 2487 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( x  e.  A  |->  X ) lim CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674    e. cmpt 4234   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   -cn->ccncf 18867   lim CC climc 19710
This theorem is referenced by:  dvidlem  19763  dvcnp2  19767  dvmulbr  19786  dvrec  19802  lhop1lem  19858  lhop2  19860  taylthlem2  20251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-fz 11008  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-xms 18311  df-ms 18312  df-cncf 18869  df-limc 19714
  Copyright terms: Public domain W3C validator