MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptlimc Unicode version

Theorem cnmptlimc 19344
Description: If  F is a continuous function, then the limit of the function at any point equals its value. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptlimc.f  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  X )  e.  ( A -cn-> D ) )
cnmptlimc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
cnmptlimc.1  |-  ( x  =  B  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
cnmptlimc  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( x  e.  A  |->  X ) lim CC  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, Y
Allowed substitution hints:    ph( x)    X( x)

Proof of Theorem cnmptlimc
StepHypRef Expression
1 cnmptlimc.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
2 cnmptlimc.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  X )  e.  ( A -cn-> D ) )
3 cncff 18500 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  X )  e.  ( A
-cn-> D )  ->  (
x  e.  A  |->  X ) : A --> D )
42, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  X ) : A --> D )
5 eqid 2358 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  X )  =  ( x  e.  A  |->  X )
65fmpt 5764 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  X  e.  D  <->  ( x  e.  A  |->  X ) : A --> D )
74, 6sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  X  e.  D )
8 cnmptlimc.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  X  =  Y )
98eleq1d 2424 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( X  e.  D  <->  Y  e.  D ) )
109rspcv 2956 . . . 4  |-  ( B  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  X  e.  D  ->  Y  e.  D ) )
111, 7, 10sylc 56 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
128, 5fvmptg 5683 . . 3  |-  ( ( B  e.  A  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( x  e.  A  |->  X ) `  B )  =  Y )
131, 11, 12syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  X ) `  B )  =  Y )
142, 1cnlimci 19343 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  X ) `  B )  e.  ( ( x  e.  A  |->  X ) lim CC  B
) )
1513, 14eqeltrrd 2433 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( x  e.  A  |->  X ) lim CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619    e. cmpt 4158   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   -cn->ccncf 18483   lim CC climc 19316
This theorem is referenced by:  dvidlem  19369  dvcnp2  19373  dvmulbr  19392  dvrec  19408  lhop1lem  19464  lhop2  19466  taylthlem2  19857
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-fz 10875  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-xms 17987  df-ms 17988  df-cncf 18485  df-limc 19320
  Copyright terms: Public domain W3C validator