MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptlimc Structured version   Unicode version

Theorem cnmptlimc 19777
Description: If  F is a continuous function, then the limit of the function at any point equals its value. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptlimc.f  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  X )  e.  ( A -cn-> D ) )
cnmptlimc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
cnmptlimc.1  |-  ( x  =  B  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
cnmptlimc  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( x  e.  A  |->  X ) lim CC  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, Y
Allowed substitution hints:    ph( x)    X( x)

Proof of Theorem cnmptlimc
StepHypRef Expression
1 cnmptlimc.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
2 cnmptlimc.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  X )  e.  ( A -cn-> D ) )
3 cncff 18923 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  X )  e.  ( A
-cn-> D )  ->  (
x  e.  A  |->  X ) : A --> D )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  X ) : A --> D )
5 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  X )  =  ( x  e.  A  |->  X )
65fmpt 5890 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  X  e.  D  <->  ( x  e.  A  |->  X ) : A --> D )
74, 6sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  X  e.  D )
8 cnmptlimc.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  X  =  Y )
98eleq1d 2502 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( X  e.  D  <->  Y  e.  D ) )
109rspcv 3048 . . . 4  |-  ( B  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  X  e.  D  ->  Y  e.  D ) )
111, 7, 10sylc 58 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
128, 5fvmptg 5804 . . 3  |-  ( ( B  e.  A  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( x  e.  A  |->  X ) `  B )  =  Y )
131, 11, 12syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  X ) `  B )  =  Y )
142, 1cnlimci 19776 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  X ) `  B )  e.  ( ( x  e.  A  |->  X ) lim CC  B
) )
1513, 14eqeltrrd 2511 1  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( ( x  e.  A  |->  X ) lim CC  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705    e. cmpt 4266   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   -cn->ccncf 18906   lim CC climc 19749
This theorem is referenced by:  dvidlem  19802  dvcnp2  19806  dvmulbr  19825  dvrec  19841  lhop1lem  19897  lhop2  19899  taylthlem2  20290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-fz 11044  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-xms 18350  df-ms 18351  df-cncf 18908  df-limc 19753
  Copyright terms: Public domain W3C validator