MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptre Unicode version

Theorem cnmptre 18909
Description: Lemma for iirevcn 18912 and related functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptre.1  |-  R  =  ( TopOpen ` fld )
cnmptre.2  |-  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )
cnmptre.3  |-  K  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  B )
cnmptre.4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
cnmptre.5  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
cnmptre.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  F  e.  B )
cnmptre.7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  F )  e.  ( R  Cn  R ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptre  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    R( x)    F( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem cnmptre
StepHypRef Expression
1 eqid 2408 . . . . 5  |-  ( Rt  A )  =  ( Rt  A )
2 cnmptre.1 . . . . . . 7  |-  R  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtopon 18774 . . . . . 6  |-  R  e.  (TopOn `  CC )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  (TopOn `  CC ) )
5 cnmptre.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6 ax-resscn 9007 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
75, 6syl6ss 3324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
8 cnmptre.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  F )  e.  ( R  Cn  R ) )
91, 4, 7, 8cnmpt1res 17665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( ( Rt  A )  Cn  R
) )
10 eqid 2408 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
112, 10rerest 18792 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( Rt  A )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) )
125, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Rt  A )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
13 cnmptre.2 . . . . . 6  |-  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )
1412, 13syl6eqr 2458 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Rt  A )  =  J )
1514oveq1d 6059 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Rt  A )  Cn  R )  =  ( J  Cn  R
) )
169, 15eleqtrd 2484 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  R ) )
17 cnmptre.6 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  F  e.  B )
18 eqid 2408 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  F )  =  ( x  e.  A  |->  F )
1917, 18fmptd 5856 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F ) : A --> B )
20 frn 5560 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  F ) : A --> B  ->  ran  ( x  e.  A  |->  F )  C_  B
)
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  A  |->  F )  C_  B )
22 cnmptre.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
2322, 6syl6ss 3324 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
24 cnrest2 17308 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  CC )  /\  ran  (
x  e.  A  |->  F )  C_  B  /\  B  C_  CC )  -> 
( ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  R
)  <->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  ( Rt  B ) ) ) )
254, 21, 23, 24syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  R
)  <->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  ( Rt  B ) ) ) )
2616, 25mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  ( Rt  B ) ) )
272, 10rerest 18792 . . . . 5  |-  ( B 
C_  RR  ->  ( Rt  B )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  B
) )
2822, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Rt  B )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  B
) )
29 cnmptre.3 . . . 4  |-  K  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  B )
3028, 29syl6eqr 2458 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Rt  B )  =  K )
3130oveq2d 6060 . 2  |-  ( ph  ->  ( J  Cn  ( Rt  B ) )  =  ( J  Cn  K
) )
3226, 31eleqtrd 2484 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3284    e. cmpt 4230   ran crn 4842   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   RRcr 8949   (,)cioo 10876   ↾t crest 13607   TopOpenctopn 13608   topGenctg 13624  ℂfldccnfld 16662  TopOnctopon 16918    Cn ccn 17246
This theorem is referenced by:  iirevcn  18912  iihalf1cn  18914  iihalf2cn  18916  pcoass  19006
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-fz 11004  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cn 17249  df-xms 18307  df-ms 18308
  Copyright terms: Public domain W3C validator