MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmptre Unicode version

Theorem cnmptre 18425
Description: Lemma for iirevcn 18428 and related functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptre.1  |-  R  =  ( TopOpen ` fld )
cnmptre.2  |-  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )
cnmptre.3  |-  K  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  B )
cnmptre.4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
cnmptre.5  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
cnmptre.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  F  e.  B )
cnmptre.7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  F )  e.  ( R  Cn  R ) )
Assertion
Ref Expression
cnmptre  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  K ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    R( x)    F( x)    J( x)    K( x)

Proof of Theorem cnmptre
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( Rt  A )  =  ( Rt  A )
2 cnmptre.1 . . . . . . 7  |-  R  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtopon 18292 . . . . . 6  |-  R  e.  (TopOn `  CC )
43a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  (TopOn `  CC ) )
5 cnmptre.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6 ax-resscn 8794 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
75, 6syl6ss 3191 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
8 cnmptre.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  CC  |->  F )  e.  ( R  Cn  R ) )
91, 4, 7, 8cnmpt1res 17370 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( ( Rt  A )  Cn  R
) )
10 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
112, 10rerest 18310 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( Rt  A )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
) )
125, 11syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Rt  A )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
13 cnmptre.2 . . . . . 6  |-  J  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )
1412, 13syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Rt  A )  =  J )
1514oveq1d 5873 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Rt  A )  Cn  R )  =  ( J  Cn  R
) )
169, 15eleqtrd 2359 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  R ) )
17 cnmptre.6 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  F  e.  B )
18 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  F )  =  ( x  e.  A  |->  F )
1917, 18fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F ) : A --> B )
20 frn 5395 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  F ) : A --> B  ->  ran  ( x  e.  A  |->  F )  C_  B
)
2119, 20syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  A  |->  F )  C_  B )
22 cnmptre.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
2322, 6syl6ss 3191 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  CC )
24 cnrest2 17014 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  CC )  /\  ran  (
x  e.  A  |->  F )  C_  B  /\  B  C_  CC )  -> 
( ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  R
)  <->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  ( Rt  B ) ) ) )
254, 21, 23, 24syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  R
)  <->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  ( Rt  B ) ) ) )
2616, 25mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  ( Rt  B ) ) )
272, 10rerest 18310 . . . . 5  |-  ( B 
C_  RR  ->  ( Rt  B )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  B
) )
2822, 27syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Rt  B )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  B
) )
29 cnmptre.3 . . . 4  |-  K  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  B )
3028, 29syl6eqr 2333 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Rt  B )  =  K )
3130oveq2d 5874 . 2  |-  ( ph  ->  ( J  Cn  ( Rt  B ) )  =  ( J  Cn  K
) )
3226, 31eleqtrd 2359 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  F )  e.  ( J  Cn  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152    e. cmpt 4077   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   (,)cioo 10656   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342  ℂfldccnfld 16377  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954
This theorem is referenced by:  iirevcn  18428  iihalf1cn  18430  iihalf2cn  18432  pcoass  18522
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cn 16957  df-xms 17885  df-ms 17886
  Copyright terms: Public domain W3C validator