Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnmsgnsubg Structured version   Unicode version

Theorem cnmsgnsubg 27411
 Description: The signs form a multiplicative subgroup of the complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmsgnsubg.m mulGrpflds
Assertion
Ref Expression
cnmsgnsubg SubGrp

Proof of Theorem cnmsgnsubg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmsgnsubg.m . 2 mulGrpflds
2 elpri 3834 . . 3
3 id 20 . . . . 5
4 ax-1cn 9048 . . . . 5
53, 4syl6eqel 2524 . . . 4
6 id 20 . . . . 5
7 neg1cn 10067 . . . . 5
86, 7syl6eqel 2524 . . . 4
95, 8jaoi 369 . . 3
102, 9syl 16 . 2
11 ax-1ne0 9059 . . . . . 6
1211a1i 11 . . . . 5
133, 12eqnetrd 2619 . . . 4
144, 11negne0i 9375 . . . . . 6
1514a1i 11 . . . . 5
166, 15eqnetrd 2619 . . . 4
1713, 16jaoi 369 . . 3
182, 17syl 16 . 2
19 elpri 3834 . . 3
20 oveq12 6090 . . . . 5
214mulid1i 9092 . . . . . 6
22 1ex 9086 . . . . . . 7
2322prid1 3912 . . . . . 6
2421, 23eqeltri 2506 . . . . 5
2520, 24syl6eqel 2524 . . . 4
26 oveq12 6090 . . . . 5
277mulid1i 9092 . . . . . 6
28 negex 9304 . . . . . . 7
2928prid2 3913 . . . . . 6
3027, 29eqeltri 2506 . . . . 5
3126, 30syl6eqel 2524 . . . 4
32 oveq12 6090 . . . . 5
337mulid2i 9093 . . . . . 6
3433, 29eqeltri 2506 . . . . 5
3532, 34syl6eqel 2524 . . . 4
36 oveq12 6090 . . . . 5
374, 4mul2negi 9481 . . . . . . 7
3837, 21eqtri 2456 . . . . . 6
3938, 23eqeltri 2506 . . . . 5
4036, 39syl6eqel 2524 . . . 4
4125, 31, 35, 40ccase 913 . . 3
422, 19, 41syl2an 464 . 2
43 oveq2 6089 . . . . 5
444div1i 9742 . . . . . 6
4544, 23eqeltri 2506 . . . . 5
4643, 45syl6eqel 2524 . . . 4
47 oveq2 6089 . . . . 5
48 divneg2 9738 . . . . . . . 8
494, 4, 11, 48mp3an 1279 . . . . . . 7
5044negeqi 9299 . . . . . . 7
5149, 50eqtr3i 2458 . . . . . 6
5251, 29eqeltri 2506 . . . . 5
5347, 52syl6eqel 2524 . . . 4
5446, 53jaoi 369 . . 3
552, 54syl 16 . 2
561, 10, 18, 42, 23, 55cnmsubglem 16761 1 SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599   cdif 3317  csn 3814  cpr 3815  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cc0 8990  c1 8991   cmul 8995  cneg 9292   cdiv 9677   ↾s cress 13470  SubGrpcsubg 14938  mulGrpcmgp 15648  ℂfldccnfld 16703 This theorem is referenced by:  cnmsgngrp  27413 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-subg 14941  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-drng 15837  df-cnfld 16704
 Copyright terms: Public domain W3C validator